大学第4阶段数学公式速查

知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 22 个知识点；配套 44 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

公式按知识讲解的编号排列。使用前先检查条件、单位、记号和方向；结论不满足条件时应回到定义或另选方法。

复数、复平面与指数表示

$z=x+iy=r{e}^{i\theta }$，$r=\sqrt{x^2+y^2}$，$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$。$\bar{z}=x-iy$，$z\bar{z}=|z{|}^2$。若 $z\ne 0$，其 $n$ 次方根为 $r^{1/n}{e}^{i(\theta +2k\pi )/n}$，$k=0,\dots ,n-1$。

理解与条件 · 配套练习

复可微与 Cauchy–Riemann 条件

$f^{\prime }(z)=\underset{h\to 0}{lim}[f(z+h)-f(z)]/h$。若 $f=u+iv$ 且 $u,v$ 为 $C^1$，则全纯等价于 $u_x=v_y,u_y=-v_x$；此时 $f^{\prime }=u_x+i{v}_x$。全纯函数的实部与虚部均为调和函数，即 $u_{xx}+u_{yy}=0$。

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复积分与 Cauchy 积分公式

${\int }_{\gamma }f(z)\mathrm{d}z={\int }_a^{b}f(\gamma (t)){\gamma }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$。若 $f$ 在正向简单闭曲线及其内部的邻域全纯，$a$ 在内部，则 $f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }f(z)/(z-a{)}^{n+1}\mathrm{d}z$。全纯且区域单连通时任意闭路积分为零。

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Laurent 级数、留数与孤立奇点

若 $f$ 在穿孔圆盘 $0<|z-a|<R$ 全纯，其 Laurent 展开 $f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-a{)}^n$ 的系数满足 $\mathrm{Res}(f,a)=a_{-1}$。简单极点留数 $\underset{z\to a}{lim}(z-a)f(z)$。若 $\gamma$ 为逆时针分段光滑简单闭曲线，$f$ 在它及内部的邻域除有限个内部孤立奇点 $a_k$ 外全纯，则 ${\oint }_{\gamma }f\mathrm{d}z=2\pi i\sum _k\mathrm{Res}(f,a_k)$。一般闭路须按各奇点的绕数加权，不能省略绕数。

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Fourier 级数与 Fourier 变换

对 $2\pi$ 周期函数，$a_n={\pi }^{-1}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x$，$b_n={\pi }^{-1}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x$，形式为 $a_0/2+\sum _{n\ge 1}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$。取 $\hat{f}(\omega )={\int }_{\mathbb{R}}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t$；若 $f,\hat{f}\in L^1$，在连续点可用 $f(t)=(2\pi {)}^{-1}\int \hat{f}(\omega )e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega$。

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Laplace 变换与初值系统

$\mathcal{L}\{f\}(s)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}f(t)\mathrm{d}t$。分段连续且指数阶函数在足够大的 $\mathrm{Re}s$ 下有变换。$\mathcal{L}\{1\}=1/s$（$\mathrm{Re}s>0$），$\mathcal{L}\{e^{at}\}=1/(s-a)$（$\mathrm{Re}s>\mathrm{Re}a$）；适当条件下 $\mathcal{L}\{f^{\prime }\}=sF(s)-f(0^{+})$，$\mathcal{L}\{f\ast g\}=FG$。

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实分析：完备性与严格极限

$a_n\to L$ 表示：对每个 $\epsilon >0$，存在 $N$，使 $n\ge N$ 时 $|a_n-L|<\epsilon$。Cauchy 条件：对每个 $\epsilon >0$，存在 $N$ 使 $m,n\ge N$ 时 $|a_n-a_m|<\epsilon$。在 $\mathbb{R}$ 中，Cauchy 与收敛等价。

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逐点收敛与一致收敛

一致收敛可写为 $\underset{x\in E}{sup}|f_n(x)-f(x)|\to 0$。连续函数列在同一集合上一致收敛则极限连续。在有限闭区间上连续函数列一致收敛时，$\underset{n}{lim}\int f_n=\int f$。Weierstrass 判别：$|u_n(x)|\le M_n$ 且 $\sum M_n<\mathrm{\infty }$，则函数项级数一致绝对收敛。

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测度、Lebesgue 积分与控制收敛

可测集合 $E$ 的示性函数满足 $\int {\mathbf{1}}_E\mathrm{d}\mu =\mu (E)$。控制收敛定理：若可测 $f_n\to f$ 几乎处处，且 $|f_n|\le g$、$\int g\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }$，则 $\int f_n\to \int f$。若 $0\le f_n\uparrow f$，单调收敛定理允许积分极限等于极限积分。

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度量空间、开集与连续映射

度量满足 $d(x,y)\ge 0$ 且等号仅当 $x=y$，$d(x,y)=d(y,x)$，$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$。球 $B_r(x)=\{y:d(x,y)<r\}$。映射连续当且仅当每个开集的原像为开集；闭集的补集为开集。

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紧致性与连通性

在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，紧致当且仅当闭且有界。紧集的连续像仍紧；非空紧集上的实值连续函数取得最大最小值。实数中的非空连通集合恰为区间（包括单点）。连续映射保持连通性。

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群、子群与同态

同态满足 $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$。核为 $\ker \varphi =\{g:\varphi (g)=e\}$，是正规子群。有限群的子群 $H$ 满足 $|H|\mid |G|$。元素阶是使 $g^n=e$ 的最小正整数，存在时等于循环子群大小。

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环、域与模运算

在 ${\mathbb{Z}}_m$ 中，$a$ 有乘法逆元当且仅当 $gcd(a,m)=1$。${\mathbb{Z}}_p$ 是域当且仅当 $p$ 为素数。Bézout 等式 $ua+vm=1$ 给出逆元 $umodm$。整环是满足 $1\ne 0$ 且无零因子的交换含幺环；域一定是整环。

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Hilbert 空间与算子入门

实 $L^2[a,b]$ 内积为 $⟨f,g⟩={\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x$，复情形第二因子取共轭。若 $M$ 为 Hilbert 空间闭子空间，则 $f=P_{M}f+r$ 且 $r\perp M$。线性算子有界指存在 $C$ 使 $\parallel Tf\parallel \le C\parallel f\parallel$。

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离散时间 Markov 链

$P_{ij}=P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)$，$P_{ij}\ge 0$、每行和为 $1$。分布递推 ${\pi }_{n+1}={\pi }_{n}P$，$n$ 步转移为 $P^n$。平稳分布满足 $\pi P=\pi ,{\pi }_i\ge 0,\sum _i{\pi }_i=1$。有限不可约链有唯一平稳分布；再非周期时从任意初始分布收敛到它。

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Poisson 过程与更新等待

速率 $\lambda >0$ 时 $N(t+s)-N(s)\sim \mathrm{Pois}(\lambda t)$，不相交区间增量独立。首次等待 $T_1\sim \mathrm{Exp}(\lambda )$，$P(T_1>t)=e^{-\lambda t}$，$E{T}_1=1/\lambda$。$EN(t)=\mathrm{Var}N(t)=\lambda t$。

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Brownian 运动与随机微分入门

$B_t-B_s\sim N(0,t-s)$（$0\le s<t$），$E{B}_t=0$，$\mathrm{Cov}(B_s,B_t)=min(s,t)$。对 $C^{1,2}$ 函数，Itô 公式为 $\mathrm{d}f(t,B_t)=(f_t+\frac{1}{2}{f}_{xx})\mathrm{d}t+f_x\mathrm{d}{B}_t$；随机积分取满足适当适应性与可积性的被积过程。

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平稳过程与 AR 时间序列

对 $X_t=\varphi X_{t-1}+{\epsilon }_t$，若 $|\varphi |<1$，噪声独立同分布、均值零、方差 $0<{\sigma }_{\epsilon }^2<\mathrm{\infty }$，且采用因果平稳解 $X_t=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{\varphi }^j{\epsilon }_{t-j}$（均方收敛；从有限时刻启动时初值取平稳分布且独立于未来噪声），则 $E{X}_t=0$，$\mathrm{Var}{X}_t={\sigma }_{\epsilon }^2/(1-{\varphi }^2)$，自相关 $\rho (k)={\varphi }^{|k|}$。

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数学建模与量纲分析

若模型 $T=C{\ell }^a{g}^b$，量纲 $[T]=T,[\ell ]=L,[g]=L{T}^{-2}$ 给出 $L^{a+b}{T}^{-2b}=T$，从而 $a+b=0,-2b=1$。相似分析还需说明除所列变量外没有其他关键控制量。

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模型拟合、验证与可辨识性

平方误差目标 $\mathrm{SSE}(\theta )=\sum _i[y_i-f(x_i;\theta ){]}^2$；均方根误差 $\mathrm{RMSE}=\sqrt{n^{-1}\sum _i({\hat{y}}_i-y_i{)}^2}$。岭惩罚可写为 $\mathrm{SSE}(\theta )+\lambda \parallel \theta {\parallel }^2$（$\lambda \ge 0$，是否惩罚截距须约定）。验证集不得用于反复拟合而仍声称独立测试。

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优化建模、敏感性与结果解释

简单资源模型为 $max\sum _i{p}_i{x}_i$，约束 $\sum _i{a}_{ji}{x}_i\le b_j,x_i\ge 0$。若最优值函数在资源 $b_j$ 附近可微且满足相应对偶正则性，对偶最优乘子可解释为边际值 $\partial V/\partial b_j$。离散决策或最优基变化时需重新分析。

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偏微分方程建模与边界条件

一维热方程 $u_t=\kappa u_{xx}$（$\kappa >0$）。区间 $0<x<L$、齐次 Dirichlet 边界 $u(0,t)=u(L,t)=0$ 的模态为 $\sin (n\pi x/L)e^{-\kappa (n\pi /L{)}^{2}t}$。若初值可作相应 Fourier 展开，则解由模态叠加；收敛与正则性需按初值空间另行说明。

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