高二数学知识讲解 · 等差数列至椭圆定义与标准方程

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知识讲解 · 公式速查 · 独立习题集 · 数学总览

在函数与向量基础上学习数列、空间几何、解析几何、导数和概率统计。建议先掌握各对象的定义与标准式，再处理参数、交点、最值；这里的年级归属是学习路线建议。

高二数学知识讲解

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在函数与向量基础上学习数列、空间几何、解析几何、导数和概率统计。建议先掌握各对象的定义与标准式，再处理参数、交点、最值；这里的年级归属是学习路线建议。

本版按通用建议学习顺序编排，不等同于某一版教材的上下册；请按已学内容与学校进度调整。本版习题覆盖率仅针对本年级列出的 22 个知识点。

等差数列

相邻两项之差固定的数列是等差数列。第 $n$ 项从首项经历 $n-1$ 次增加，因此通项中是 $n-1$ 而不是 $n$。求和可将正序与逆序相加，每对和等于首末项之和。项号必须为正整数，公差可以为正、负或零。

公式与条件： $a_n=a_1+(n-1)d$；$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。若 $p+q=r+s$，则 $a_p+a_q=a_r+a_s$。

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等比数列与前项和

从第二项起，每项与前项之比固定的非零项数列是等比数列。通项由连续乘同一比值得到，求和可把原和乘公比再相减消去大部分项。公比为 $1$ 时普通求和公式分母为零，必须单独处理；负公比会导致符号交替。

公式与条件： $a_n=a_1{q}^{n-1}$，通常定义要求 $a_{1}q\ne 0$。$q\ne 1$ 时 $S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$；$q=1$ 时 $S_n=n{a}_1$。若 $|q|<1$，无限和为 $a_1/(1-q)$（进阶）。

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递推数列与构造新数列

递推式用前面的项定义后面的项，必须连同初始条件才确定数列。形如 $a_{n+1}=q{a}_n+b$ 时，可减去固定点得到按固定倍数递推的新数列（非零项且公比非零时为等比数列）；固定点满足 $L=qL+b$。若 $q=1$，则本来就是等差数列，不能使用含 $q-1$ 的变形。 递推倍率为零或新数列首项为零时，应直接验证递推；不能套用要求非零项的等比数列定义。

公式与条件： $a_{n+1}=q{a}_n+b$，$q\ne 1$ 时取 $L=b/(1-q)$，有 $a_{n+1}-L=q(a_n-L)$，故 $n\ge 2$ 时 $a_n=L+(a_1-L)q^{n-1}$，首项直接使用给定的 $a_1$。若 $q=0$，后续各项均为 $b$，不在首项处使用 $0^0$；若 $a_1=L$，差数列为零数列，不能按本版非零项定义称为等比数列。$q=1$ 时 $a_n=a_1+(n-1)b$。 本节通项只涉及正整数项号。

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数列求和、裂项与错位相减

求和前先看通项能否拆成相邻项之差，此时中间项相消形成裂项求和。含 $n{q}^n$ 的和可乘 $q$ 后错位相减，使一次系数差变成常数，再用等比和。记录首尾项是关键，不要只看中间相消部分。

公式与条件： $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$，$k\ne 0,-1$；$\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)/2$。$\sum _{k=1}^{n}k{q}^{k-1}=\frac{1-(n+1)q^n+n{q}^{n+1}}{(1-q{)}^2}$，$q\ne 1$。

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空间直线与平面的位置关系

空间两直线可相交、平行或异面；不相交不等于平行，因为它们可能不共面。证明线面平行，可在平面内找与该直线平行的直线，并确认原直线不在平面内。证明线面垂直，要与平面内两条相交直线都垂直，单独一条不够。 两个不同平面可平行或相交。一个平面内若有两条相交直线都平行于另一平面，则两平面平行；若一个平面含有另一平面的垂线，则两平面垂直。二面角由一条棱和从该棱出发的两个半平面组成，其大小取垂直棱的截面中两条对应射线的夹角。

公式与条件： 若 $l\not\subset \alpha ,m\subset \alpha ,l\parallel m$，则 $l\parallel \alpha$。若 $m,n\subset \alpha$ 且 $m\cap n$ 为一点，$l\perp m,l\perp n$，则 $l\perp \alpha$（按方向夹角理解垂直）。线面平行不包括直线在平面内。 若 $l\subset \beta ,l\perp \alpha$，则 $\alpha \perp \beta$。二面角的平面角范围为 $[0,\pi ]$（非退化时在 $(0,\pi )$），应区分所选半平面；不能总用法向量夹角的绝对值代替指定二面角。

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棱柱、棱锥与棱台的度量

棱柱的平行截面与底面等面积，体积是底面积乘垂直高。棱锥与同底同高棱柱的体积之比为 $1:3$。棱台由棱锥平行于底面的截面截得，其上下底必须相似；一般两个平行面的不规则立体不能套棱台公式。

公式与条件： 棱柱 $V=Sh$；棱锥 $V=Sh/3$；棱台 $V=\frac{h}{3}(S_1+\sqrt{S_1{S}_2}+S_2)$，$h$ 为两底面间垂直距离，$S_1,S_2>0$。表面积按各面面积相加。

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圆柱、圆锥与球

旋转体公式依赖半径、高和母线等不同长度。直圆柱侧面展开成长方形，圆锥侧面展开成扇形；球面面积与球体体积分别是二维和三维量。相似放大倍数为 $k$ 时，面积放大 $k^2$、体积放大 $k^3$，可用于检查量纲。

公式与条件： 直圆柱 $V=\pi r^{2}h,S_{\text{侧}}=2\pi rh$；直圆锥 $V=\pi r^{2}h/3,S_{\text{侧}}=\pi r\sqrt{r^2+h^2}$。球 $S=4\pi r^2,V=4\pi r^3/3$，$r>0,h>0$。全面积需计入相应底面。

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空间向量、法向量与夹角

空间向量在正交坐标系下按三个分量运算。平面法向量垂直平面内所有方向，可由两个不平行的方向向量确定。求直线与平面夹角时，用方向向量与法向量的夹角转为余角；使用绝对值可得到约定的零角、锐角或直角。

公式与条件： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$；$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$。线面角 $\theta \in [0,\pi /2]$ 满足 $\sin \theta =\frac{|\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{v}||\mathbf{n}|}$，方向向量 $\mathbf{v}$ 与法向量 $\mathbf{n}$ 均非零。

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直线方程与点线距离

斜截式适用于非竖直直线，竖直线需要写成 $x=c$；一般式可统一表示所有直线。平行、垂直关系可通过方向向量或法向量判断，避免斜率不存在时失效。点线距离是垂直最短距离，公式分子需取绝对值。

公式与条件： 直线 $Ax+By+C=0$，要求 $A^2+B^2>0$，法向量 $(A,B)$。点 $(x_0,y_0)$ 到直线距离 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。非竖直直线点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$。

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圆的标准方程与直线位置

圆的方程来自点到圆心距离固定。一般式配方后可判断是否有真实圆；半径平方为零时退化成点，为负时没有实点。直线与圆位置既可比较圆心到直线距离与半径，也可联立后看判别式，前一种通常更简洁。

公式与条件： $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，$r>0$。$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 的圆心 $(-D/2,-E/2)$，$r^2=(D^2+E^2)/4-F$，须 $r^2>0$。

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椭圆定义与标准方程

椭圆上点到两焦点的距离之和为固定值 $2a$，且该值大于焦距 $2c$。长轴方向由较大的分母所在坐标决定；参数满足 $a>b>0$，焦距由差平方关系求得。若把两焦点重合，得到圆，应与严格的非圆椭圆情形区分。

公式与条件： 横轴为长轴：$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，$a>b>0$，$c^2=a^2-b^2$，焦点 $(\pm c,0)$，离心率 $e=c/a\in (0,1)$。纵轴为长轴时交换 $x,y$ 的位置。

公式定位 · 配套练习

图中椭圆为 $x^2/9+y^2/4=1$，双曲线为 $x^2/4-y^2=1$。两图均以原点为中心，正负号的改变导致闭合曲线与两个分支的区别。