八年级数学独立习题集 · 三角形全等与对应关系至加权平均数与方差

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本页有 36 道题，每个知识点各两题。建议先独立作答、写出理由，再展开答案核对。

三角形全等与对应关系

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题 27

已知 $AB=DE,AC=DF,\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }D$，可否判定两三角形全等？

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答案： 可以，使用 SAS。

思路与计算： 角 $A$ 夹在 $AB,AC$ 之间，角 $D$ 夹在 $DE,DF$ 之间，两边及其夹角对应相等。

易错提醒： 要核实给出的角确为夹角。

题 28

若 $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$，且 $BC=7,\mathrm{\angle }E={50}^{\circ }$，求 $EF,\mathrm{\angle }B$。

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答案： $EF=7,\mathrm{\angle }B={50}^{\circ }$。

思路与计算： 按顺序有 $B\leftrightarrow E,C\leftrightarrow F$，所以 $BC$ 对应 $EF$。

易错提醒： 不能只凭图形朝向猜对应边。

等腰三角形与垂直平分线

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题 29

等腰三角形的顶角为 ${40}^{\circ }$，求两个底角。

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答案： 各 ${70}^{\circ }$。

思路与计算： 余下角和为 ${140}^{\circ }$，由两底角相等，每个为 ${70}^{\circ }$。

易错提醒： 题目已指明顶角，不能另把 40° 当底角。

题 30

点 $P$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，$PA=2x+1,PB=11$，求 $x$。 另问：点 $Q$ 在 ${60}^{\circ }$ 角内部，到两边距离都是 $3$，求它与顶点的连线所分成的两个角。尺规作长 $8$ 的线段的垂直平分线，统一取作弧半径 $5$ 是否可行，为什么？

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答案： $x=5$。 两角各 ${30}^{\circ }$；半径 $5$ 可行。

思路与计算： 由等距性质得 $2x+1=11$，解得 $x=5$；此时两段都为 $11$。 等距且在角内，故连线是角平分线。两圆圆心距为 $8$，同半径 $5$ 满足 $0<8<10$，有两个交点；两交点均到端点等距，连线即垂直平分线。

易错提醒： 必须使用到两个端点的距离相等，而不是到中点的距离。 尺规作图的两弧必须有两个不同交点；半径恰为半线段长时只有一个交点。

勾股定理与逆定理

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题 31

直角三角形两直角边为 $6,8$，求斜边。

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答案： $10$。

思路与计算： 斜边平方 $=6^2+8^2=100$，边长取正，故为 $10$。

易错提醒： 开平方求边长不取负根。

题 32

边长为 $5,12,13$ 的三角形是否为直角三角形？

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答案： 是，最长边 13 所对角为直角。

思路与计算： $5^2+{12}^2=25+144=169={13}^2$，满足逆定理。

易错提醒： 判定前应先确定最长边。

平行四边形、矩形、菱形与正方形

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题 33

矩形长 $8$、宽 $6$，求面积与对角线长。

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答案： 面积 $48$，对角线长 $10$。

思路与计算： 面积 $8\times 6=48$；对角线用勾股定理为 $\sqrt{64+36}=10$。

易错提醒： 对角线不是长与宽直接相加。

题 34

菱形两条对角线长为 $10,24$，求面积与边长。 另问：三角形第三边长 $18$，连接另两边中点的线段多长？一个非退化四边形的对角线互相平分、垂直且相等，它是什么图形？

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答案： 面积 $120$，边长 $13$。 中位线长 $9$；四边形是正方形。

思路与计算： 面积为 $10\times 24/2=120$；对角线互相垂直平分，半对角线 $5,12$ 构成直角三角形，边长为 $13$。 中位线为第三边一半。对角线互相平分先判平行四边形，再由相等判矩形、垂直判菱形，因此是正方形。

易错提醒： 求边长使用对角线的一半。 不能省去“互相平分”就只凭对角线垂直且相等判正方形。

加权平均数与方差

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题 35

某成绩 $80$ 分有 $2$ 人，$90$ 分有 $3$ 人，求平均分。

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答案： $86$ 分。

思路与计算： 总分 $80\times 2+90\times 3=430$，总人数 $5$，平均为 $86$。

易错提醒： 直接算 $(80+90)/2$ 忽略人数权重。

题 36

求数据 $1,3,5$ 的平均数与本节定义的方差。

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答案： 平均数 $3$，方差 $\frac{8}{3}$。

思路与计算： 偏差为 $-2,0,2$，平方和为 $8$，除以数据个数 $3$。

易错提醒： 本题明确使用分母 $n$，不能改为 $n-1$。