程序员数学 06：概率、重试与条件判断

“单次失败率 20%，重试两次就几乎不会失败”包含几个未说出的前提：总共尝试几次，各次失败是否独立，失败率是否稳定，操作是否适合重复。概率计算之前先写出模型。

有限重试的失败概率

假设每次尝试独立，失败概率固定为 $p=0.2$；首次尝试加最多两次重试，一共最多三次。最终失败要求三次全部失败，因此：

$$P(\text{最终失败})=p^3=0.008=0.8\mathrm{\%}.$$

成功概率为 $1-p^3=99.2\mathrm{\%}$。这里的“两次重试”不是“两次总尝试”，计数错一位就会得到另一结果。

如果失败由持续的共享故障造成，三次可能高度相关。例如后续尝试必然重复第一次的结果，最终失败率仍为 20%，不能套独立乘法。现实重试还涉及间隔、总时限、重复副作用与负载，本篇只分析已声明的概率模型。

期望尝试次数

至少第一次总会执行，第二次仅在第一次失败时执行，第三次仅在前两次失败时执行。因此：

$$E[N]=1+p+p^2=1.24.$$

这个推导把 $N$ 写成三个指示变量之和，使用期望的可加性。期望可加性本身不要求独立；把“前两次都失败”的概率写成 $p^2$ 才用到了独立假设。

若每次耗时固定为 100 ms，且忽略重试等待与其他开销，那么期望尝试耗时为 124 ms。它不是单次任务一定耗时 124 ms，也不是端到端延迟的 P99。

条件概率不要看反

虚构文件检测器的数据：真实损坏比例为 1%；损坏文件被标记的概率为 90%；完好文件被误标的概率为 5%。被标记后，文件真正损坏的概率不是 90%。

设 $D$ 为损坏，$F$ 为被标记：

$$P(D\mid F)=\frac{P(F\mid D)P(D)}{P(F\mid D)P(D)+P(F\mid \mathrm{\neg }D)P(\mathrm{\neg }D)}=\frac{0.9\times 0.01}{0.9\times 0.01+0.05\times 0.99}\approx 15.38\mathrm{\%}.$$

用 10,000 个文件理解更直观：预期 100 个损坏，其中 90 个被标记；9900 个完好，其中 495 个被误标。所有被标记文件中，损坏占 $90/(90+495)$。

“在损坏条件下被标记”与“在被标记条件下损坏”是不同问题。样本比例、检测能力和数据分布变化后，结果都可能改变。

练习

1. 独立失败率为 0.1，最多两次总尝试，最终失败概率和期望次数是多少？
2. 若所有尝试都依赖同一份暂时不可用的文件，能直接用 $p^n$ 吗？
3. 检测器没有误报时，只要观测到标记，且标记事件概率非零，上述条件概率是多少？

查看答案与讲解

1. 最终失败概率 ${0.1}^2=0.01$，即 1%；期望次数 $1+0.1=1.1$。
2. 不能。需要确认尝试之间的联合分布；共享故障往往导致相关性。
3. 在给定模型中为 1，因为分母里的误报项为 0。但“没有误报”必须是可靠前提，不能从有限样本里没观察到误报就断言总体误报率为零。

资料与延伸

MIT 6.042J 阅读目录 提供条件概率、独立性和期望材料。学习时每写一个乘法，问自己是否使用了独立假设；每算一个概率，明确它是先验、条件概率还是样本频率。