高一数学知识讲解 · 集合、区间与集合运算至单位圆与任意角三角函数

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知识讲解 · 公式速查 · 独立习题集 · 数学总览

先把集合、逻辑和函数语言建立起来，再系统学习幂函数、指数与对数、三角函数、向量和复数。这里给出通用建议顺序，课程安排可能跨年级；每次变形都要跟踪定义域。

高一数学知识讲解

知识讲解 · 公式速查 · 独立习题集 · 数学总览

先把集合、逻辑和函数语言建立起来，再系统学习幂函数、指数与对数、三角函数、向量和复数。这里给出通用建议顺序，课程安排可能跨年级；每次变形都要跟踪定义域。

本版按通用建议学习顺序编排，不等同于某一版教材的上下册；请按已学内容与学校进度调整。本版习题覆盖率仅针对本年级列出的 20 个知识点。

集合、区间与集合运算

集合由确定、互异的元素组成，排列顺序不影响集合。属于用于元素与集合，包含用于集合之间。交集表示同时满足，并集表示至少满足一个，补集必须相对于事先给定的全集。区间端点的开闭对应严格或非严格不等式，无穷端总用圆括号。

公式与条件： $A\cap B=\{x:x\in A\text{ 且 }x\in B\}$；$A\cup B=\{x:x\in A\text{ 或 }x\in B\}$。${\complement }_{U}A=\{x\in U:x\notin A\}$；$\varnothing \subseteq A$。$[a,b]=\{x:a\le x\le b\}$。

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充分必要条件与量词

若 $p$ 成立能推出 $q$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件；双向都成立才是充要条件。全称命题说所有对象都满足，存在命题说至少有一个。否定量词时既要交换“任意”与“存在”，也要否定后面的关系。

公式与条件： $p\Rightarrow q$：$p$ 充分、$q$ 必要；$p\iff q$：充要。$\mathrm{\neg }(\mathrm{\forall }x\in D,P(x))⟺\mathrm{\exists }x\in D,\mathrm{\neg }P(x)$；$\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }x\in D,P(x))⟺\mathrm{\forall }x\in D,\mathrm{\neg }P(x)$。

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二次不等式与符号分析

把不等式移到同一侧后，找零点与不连续点，再分区间判断符号。二次式若有两个实根，开口向上时在根外为正、根间为负；开口向下反过来。分式不等式还必须排除分母零点，不能在不知分母符号时直接乘过去。

公式与条件： 若 $a>0,r_1<r_2$，则 $a(x-r_1)(x-r_2)>0⟺x<r_1\text{ 或 }x>r_2$，小于零时 $r_1<x<r_2$。当判别式小于零时，二次式恒与首项系数同号。

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函数的定义域、值域与对应

函数包括定义域与对应法则，要求每个允许输入恰有一个输出，不要求不同输入输出不同。根式、分母和对数分别带来定义域约束，必须取交集。值域是实际能取得的输出集合，可用配方、单调性或代换确定，不能把表达式看起来可能的数全部写入。

公式与条件： $\sqrt{g(x)}$ 要求 $g(x)\ge 0$；$1/g(x)$ 要求 $g(x)\ne 0$；${\log }_{a}g(x)$ 要求 $g(x)>0,a>0,a\ne 1$。值域为 $\{f(x):x\in D\}$。

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函数单调性与比较大小

在某一区间内，任取两个输入 $x_1<x_2$，若总有 $f(x_1)<f(x_2)$，称严格递增；总有反向关系则递减。单调性是区间上的整体性质，两个点的比较不足以证明。对差商或作差法，符号分析必须使用该区间条件。

公式与条件： 严格递增定义：$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$。对 $f(x)=x^2$，差值 $f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(x_2+x_1)$，由区间决定第二因子符号。

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奇偶性与图象对称

讨论奇偶性前，定义域必须关于零对称。偶函数满足 $f(-x)=f(x)$，图象关于 $y$ 轴对称；奇函数满足 $f(-x)=-f(x)$，图象关于原点对称。奇函数若在零处有定义，必有 $f(0)=0$；但过原点并不能保证奇性。

公式与条件： 偶函数：$f(-x)=f(x)$；奇函数：$f(-x)=-f(x)$，均需 $x\in D\Rightarrow -x\in D$。零函数在对称定义域上同时为奇、偶函数。

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函数图象的平移与伸缩

从 $y=f(x)$ 得到 $y=f(x-h)+k$，图象向右平移 $h$、向上平移 $k$，负值表示相反方向。自变量内部的变化要通过对应点求解，不可仅凭符号猜方向。纵向倍乘改变函数值，横向倍乘则通过输入变化产生相反比例的伸缩。

公式与条件： 若 $(u,f(u))$ 在原图象上，则在 $y=Af(B(x-h))+k$ 上对应点为 $(h+u/B,Af(u)+k)$，其中 $B\ne 0$。$A<0$ 或 $B<0$ 时含相应反射。

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幂函数与有理指数

幂函数形如 $y=x^{\alpha }$，指数固定、底数是变量。整数、分数和负指数会产生不同定义域；例如 $x^{1/2}$ 只取 $x\ge 0$，而 $x^{-1}$ 排除零。为避免根式多值和符号歧义，使用一般有理指数运算法则时通常先限 $x>0$。

公式与条件： 若 $x>0$，则 $x^{m/n}=\sqrt[n]{x^m}$，$n$ 为正整数，且指数律成立。常见函数：$x^2$ 定义于 $\mathbb{R}$；$\sqrt{x}$ 定义于 $[0,+\mathrm{\infty })$；$1/x$ 定义于 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$。

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指数函数与指数模型

指数函数的变量在指数位置。底数大于 $1$ 时严格递增，介于 $0$ 与 $1$ 时严格递减，函数值始终为正并经过 $(0,1)$。固定百分比增长属于乘法累积，例如每期增长 $r$，经过 $n$ 期乘 $(1+r{)}^n$，而不是简单加 $nr$。

公式与条件： $y=a^x$，$a>0,a\ne 1$，定义域 $\mathbb{R}$、值域 $(0,+\mathrm{\infty })$。复合增长 $A_n=A_0(1+r{)}^n$，要求每期比例固定、$1+r>0$；衰减可取 $-1<r<0$。

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对数定义、运算与方程

对数是指数关系的反向表达，${\log }_{a}b=c$ 表示 $a^c=b$。底数正且不等于 $1$，真数必须为正。积、商和幂的对数可转为和、差和倍数，但不存在把和直接拆开的通用公式。对数方程解出候选值后，要逐项检查原来的真数条件。

公式与条件： ${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$；${\log }_a(M/N)={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$；${\log }_a(M^r)=r{\log }_{a}M$，其中 $a>0,a\ne 1,M,N>0$。${\log }_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}$，还要求 $b>0$。

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函数零点与方程根

函数零点是使函数值为零的输入值，不是坐标点。方程可移项构造函数，再研究图象与横轴的交点。连续函数在区间两端异号，可保证区间内至少有一个零点；要断言唯一还需严格单调等条件。二分法每次保留端点异号的一半区间。

公式与条件： $f(c)=0$ 时 $c$ 是零点。若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续且 $f(a)f(b)<0$，则 $(a,b)$ 至少有一个零点；加严格单调可保证至多一个。二分 $n$ 次后区间长 $(b-a)/2^n$。

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角度制、弧度制与扇形

弧度用弧长与半径之比度量角，因此是与圆大小无关的量。一周为 $2\pi$ 弧度，半周为 $\pi$ 弧度。三角函数输入、周期和后续导数公式必须明确采用哪种角度单位；弧长公式 $l=r\theta$ 仅能直接使用弧度。

公式与条件： ${180}^{\circ }=\pi \mathrm{rad}$；${\theta }_{\mathrm{rad}}={\theta }_{\mathrm{deg}}\pi /180$。普通扇形取弧度圆心角 $0\le \theta \le 2\pi$，弧长 $l=r\theta$，扇形面积 $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$，$r>0$。

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单位圆与任意角三角函数

把角的终边与单位圆交点记为 $(x,y)$，定义余弦为 $x$、正弦为 $y$，正切为 $y/x$。这种定义把锐角三角函数推广到任意实数角。象限决定符号；终边相同的角相差 $2k\pi$，正切还具有 $\pi$ 周期。

公式与条件： $P=(\cos \theta ,\sin \theta )$，$\tan \theta =\sin \theta /\cos \theta$，要求 $\cos \theta \ne 0$，即 $\theta \ne \pi /2+k\pi$。$\sin 0=0,\cos 0=1$；$\sin (\pi /6)=1/2,\cos (\pi /6)=\sqrt{3}/2$；$\sin (\pi /4)=\cos (\pi /4)=\sqrt{2}/2$。

公式定位 · 配套练习

单位圆图取 $\theta =\pi /3={60}^{\circ }$，终边点为 $(1/2,\sqrt{3}/2)$；横坐标给出余弦，纵坐标给出正弦。