大学第2阶段数学习题集 · 多元函数的极限与偏导数至旋度与 Stokes 定理

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知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 24 个知识点；配套 48 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

大学第2阶段数学习题集

知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 24 个知识点；配套 48 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

先独立列出条件和解题步骤，再展开答案。基础计算题用于检查概念，辨析与证明题用于检查条件；每题解答均默认关闭。两题覆盖的是本版入门目标，不能代替整门课程的题量。

知识点 → 题号对照

编号	知识点	题号
u2-01	多元函数的极限与偏导数	1、2
u2-02	全微分、梯度与链式法则	3、4
u2-03	多元极值与约束优化	5、6
u2-04	二重积分与变量替换	7、8
u2-05	三重积分与空间坐标	9、10
u2-06	第一类曲线积分与弧长	11、12
u2-07	向量线积分与 Green 定理	13、14
u2-08	曲面积分与 Gauss 散度定理	15、16
u2-09	旋度与 Stokes 定理	17、18
u2-10	数项级数与收敛判别	19、20
u2-11	幂级数、收敛半径与逐项运算	21、22
u2-12	特征值、特征向量与谱	23、24
u2-13	相似对角化与矩阵幂	25、26
u2-14	内积、正交投影与 Gram–Schmidt	27、28
u2-15	实对称谱定理与二次型	29、30
u2-16	最小二乘与线性拟合	31、32
u2-17	概率空间与事件运算	33、34
u2-18	条件概率、独立与 Bayes 公式	35、36
u2-19	离散分布：二项与 Poisson	37、38
u2-20	连续分布与密度	39、40
u2-21	期望、方差与协方差	41、42
u2-22	大数定律与中心极限定理	43、44
u2-23	参数估计与置信区间	45、46
u2-24	假设检验与错误类型	47、48

多元函数的极限与偏导数

知识回顾 · 公式速查

题 1

求 $f(x,y)=x^{2}y+e^y$ 的两个一阶偏导及混合偏导。

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固定 $y$ 对 $x$ 求导得 $f_x=2xy$；固定 $x$ 得 $f_y=x^2+e^y$。继续求导得 $f_{xy}=f_{yx}=2x$。易错：对 $x$ 求偏导时，$e^y$ 是常量。

题 2

判断 $f(x,y)=xy/(x^2+y^2)$ 在原点的极限。

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沿 $y=0$，函数恒为 $0$；沿 $y=x$ 且 $x\ne 0$，函数恒为 $1/2$。两条路径极限不同，所以极限不存在。易错：仅检查两条坐标轴会漏掉这一反例。

全微分、梯度与链式法则

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题 3

求 $f=x^2+y^2$ 在 $(1,2)$ 沿 $(3,4)$ 方向的方向导数。

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梯度为 $(2,4)$。将方向单位化为 $(3/5,4/5)$，点积得 $6/5+16/5=22/5$。易错：不单位化会把方向长度也乘进去。

题 4

求球面 $x^2+y^2+z^2=9$ 在 $(1,2,2)$ 处的切平面。

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梯度为 $(2,4,4)$，非零。切平面 $2(x-1)+4(y-2)+4(z-2)=0$，化简为 $x+2y+2z=9$。易错：平面常数应由过给定点确定。

多元极值与约束优化

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题 5

分类 $f(x,y)=x^2-y^2$ 的原点。

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原点梯度为零，Hessian 对角为 $2,-2$，故 $D=-4<0$，为鞍点。沿横轴函数非负，沿纵轴非正也说明原点不是极值。易错：梯度等于零只给候选点。

题 6

在 $x+y=2$ 下求 $x^2+y^2$ 的最小值。

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乘子条件 $2x=\lambda ,2y=\lambda$ 联立约束得 $x=y=1$。再由 $x^2+y^2=2+(x-y{)}^2/2\ge 2$ 确认全局最小值为 $2$。易错：乘子方程本身不区分最大、最小或其他驻点。

二重积分与变量替换

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题 7

计算三角形 $D=\{0\le x\le 1,0\le y\le x\}$ 上的 ${\iint }_D(x+y)\mathrm{d}A$。

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内层积分 ${\int }_0^x(x+y)\mathrm{d}y=3x^2/2$，再积分 ${\int }_0^{1}3x^2/2\mathrm{d}x=1/2$。易错：$y$ 的上限是 $x$，不是固定的 $1$。

题 8

计算单位圆盘上 ${\iint }_D(x^2+y^2)\mathrm{d}A$。

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转极坐标，$0\le r\le 1,0\le \theta \le 2\pi$，积分为 ${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{r}^{2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta =\pi /2$。易错：少乘面积微元中的 $r$ 会改变结果。

三重积分与空间坐标

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题 9

用三重积分求半径为 $R>0$ 的球体体积。

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球坐标积分为 ${\int }_0^R{\rho }^2\mathrm{d}\rho {\int }_0^{\pi }\sin \theta \mathrm{d}\theta {\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\phi =(R^3/3)\cdot 2\cdot 2\pi =4\pi R^3/3$。易错：极角仅从 $0$ 到 $\pi$。

题 10

求单位立方体 $[0,1{]}^3$ 上密度 $\rho (x,y,z)=x+y+z$ 的质量。

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质量为三重积分。对三个坐标的积分贡献各为 $1/2$，相加得到 $3/2$。这里区域体积为 $1$，平均密度也为 $3/2$。易错：密度随位置变化时不能随便取某一点的密度乘体积。

第一类曲线积分与弧长

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题 11

求线段 $(0,0)$ 到 $(3,4)$ 的弧长。

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参数 $r(t)=(3t,4t),0\le t\le 1$，速度模为 $5$，故弧长 ${\int }_0^{1}5\mathrm{d}t=5$。易错：弧长使用速度模，不能只积分某个坐标速度。

题 12

单位圆周上的线密度为常数 $2$，求总质量，并判断反向参数是否改变结果。

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取 $r(t)=(\cos t,\sin t),0\le t\le 2\pi$，速度模为 $1$，质量为 ${\int }_0^{2\pi }2\mathrm{d}t=4\pi$。反向不改变弧长与密度，因此不改变质量。易错：第一类曲线积分不随定向变号。

向量线积分与 Green 定理

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题 13

计算 $F=(2x,2y)$ 沿任意光滑路径从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ 的线积分。

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$F=\mathrm{\nabla }(x^2+y^2)$，所以积分为终点势 $1+4$ 减起点势 $0$，得到 $5$。易错：路径无关需要势函数或等价条件，不能对任意场假定成立。

题 14

求单位圆逆时针方向上的 ${\oint }_C(-y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y)$。

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$P=-y,Q=x$，故 $Q_x-P_y=1-(-1)=2$。Green 定理给出积分 $2\times \pi =2\pi$。易错：顺时针方向的答案应变为 $-2\pi$。

曲面积分与 Gauss 散度定理

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题 15

求 $F=(x,y,z)$ 穿出半径 $R$ 球面的通量。

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场处处光滑，散度为 $3$，故通量 $3\times 4\pi R^3/3=4\pi R^3$。易错：散度定理右侧积分区域是球体，左侧才是球面。

题 16

求常向量场 $F=(0,0,2)$ 穿过 $z=1$、$0\le x,y\le 1$ 方形面向上方向的通量。

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单位法向量为 $(0,0,1)$，点积 $F\cdot n=2$，面积为 $1$，故通量为 $2$。若法向向下则为 $-2$。易错：这个面不闭合，不能直接把它当作某体积的完整边界。

旋度与 Stokes 定理

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题 17

求 $F=(-y/2,x/2,0)$ 的旋度。

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前两分量为零，第三分量 ${\partial }_x(x/2)-{\partial }_y(-y/2)=1$，故旋度为 $(0,0,1)$。易错：第三分量的第二项带减号。

题 18

对上一向量场，求 $z=0$ 单位圆从上方看逆时针的环流。

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选择向上法向的单位圆盘，边界方向正好逆时针。旋度与法向点积为 $1$，面积为 $\pi$，故环流 $\pi$。易错：若换成向下法向，边界方向也必须同步反转。