大学第2阶段数学知识讲解 · 多元函数的极限与偏导数至旋度与 Stokes 定理

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知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 24 个知识点；配套 48 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

大学第2阶段数学知识讲解

知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 24 个知识点；配套 48 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

在大一微积分和线性代数基础上，扩展到多元分析、级数、谱理论以及概率统计。建议先掌握多元可微与重积分，再学积分定理；统计推断安排在概率分布之后。

本版知识点清单

编号	知识点	配套练习
u2-01	多元函数的极限与偏导数	题 1、2
u2-02	全微分、梯度与链式法则	题 3、4
u2-03	多元极值与约束优化	题 5、6
u2-04	二重积分与变量替换	题 7、8
u2-05	三重积分与空间坐标	题 9、10
u2-06	第一类曲线积分与弧长	题 11、12
u2-07	向量线积分与 Green 定理	题 13、14
u2-08	曲面积分与 Gauss 散度定理	题 15、16
u2-09	旋度与 Stokes 定理	题 17、18
u2-10	数项级数与收敛判别	题 19、20
u2-11	幂级数、收敛半径与逐项运算	题 21、22
u2-12	特征值、特征向量与谱	题 23、24
u2-13	相似对角化与矩阵幂	题 25、26
u2-14	内积、正交投影与 Gram–Schmidt	题 27、28
u2-15	实对称谱定理与二次型	题 29、30
u2-16	最小二乘与线性拟合	题 31、32
u2-17	概率空间与事件运算	题 33、34
u2-18	条件概率、独立与 Bayes 公式	题 35、36
u2-19	离散分布：二项与 Poisson	题 37、38
u2-20	连续分布与密度	题 39、40
u2-21	期望、方差与协方差	题 41、42
u2-22	大数定律与中心极限定理	题 43、44
u2-23	参数估计与置信区间	题 45、46
u2-24	假设检验与错误类型	题 47、48

位置参数决定中心，尺度参数决定离散程度。图示面积对应概率，纵轴高度为密度。

多元函数的极限与偏导数

多元极限要求沿所有允许路径趋近同一点时得到相同结果；两条路径结果不同足以证明不存在，但几条路径相同不足以证明存在。偏导数固定其他变量，只考察某一坐标方向的变化。所有偏导存在仍不保证连续或全微分存在。

关键关系与条件

$f_x(a,b)=\underset{h\to 0}{lim}[f(a+h,b)-f(a,b)]/h$，$f_y$ 类似。若二阶混合偏导在邻域内连续，则 $f_{xy}=f_{yx}$。极坐标估计中若 $|f(r\cos \theta ,r\sin \theta )-L|\le g(r)\to 0$ 且界与 $\theta$ 无关，可证明极限为 $L$。

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全微分、梯度与链式法则

全微分用一个线性映射同时近似所有方向的变化。偏导在邻域连续是可微的充分条件。梯度由偏导组成，指向单位长度变化最快的方向；方向导数必须注明方向向量是否单位化。隐曲面的梯度垂直于等值面，非零时可确定切平面。

关键关系与条件

可微时 $\mathrm{d}f=f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y$，单位方向 $u$ 的导数 $D_{u}f=\mathrm{\nabla }f\cdot u$。复合曲线满足 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(x(t),y(t))=f_x{x}^{\prime }+f_y{y}^{\prime }$。若 $F$ 在 $p$ 邻域为 $C^1$，$F(p)=c$ 且 $\mathrm{\nabla }F(p)\ne 0$，则曲面在 $p$ 的切平面为 $\mathrm{\nabla }F(p)\cdot (X-p)=0$。

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多元极值与约束优化

无约束可微函数的内部极值点必须为驻点，但驻点可能是鞍点。Hessian 的正负定性给出局部判别。等式约束下，约束梯度非零时可用 Lagrange 乘子找候选点；随后仍需比较函数值、检查边界和是否存在最值。

关键关系与条件

设 $f$ 在内部驻点的邻域有连续二阶偏导，令 $D=f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2$。$D>0,f_{xx}>0$ 为局部极小；$D>0,f_{xx}<0$ 为局部极大；$D<0$ 为鞍点；$D=0$ 无结论。若 $f,g$ 在邻域为 $C^1$，约束 $g=c$ 的极值点处 $\mathrm{\nabla }g\ne 0$，则满足 $\mathrm{\nabla }f=\lambda \mathrm{\nabla }g$。

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二重积分与变量替换

二重积分累计平面区域上的密度。连续函数在有界规则区域可化为累次积分，先画区域再决定积分次序。极坐标适合圆或径向对称问题，面积微元含 Jacobian 因子 $r$。换序会改变上下限，但不会把区域变成原来的外接矩形。

关键关系与条件

若 $D=\{a\le x\le b,\varphi (x)\le y\le \psi (x)\}$，则 ${\iint }_{D}f\mathrm{d}A={\int }_a^b{\int }_{\varphi (x)}^{\psi (x)}f\mathrm{d}y\mathrm{d}x$。极坐标 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，$\mathrm{d}A=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。一般光滑一一换元使用 Jacobian 行列式的绝对值。

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三重积分与空间坐标

三重积分计算质量、体积或空间期望。柱坐标适合轴对称区域，球坐标适合球壳与径向函数。不同教材对球坐标角度符号的约定不同，本篇用 $\theta$ 表示与正 $z$ 轴的夹角、$\phi$ 表示方位角；先声明约定再代公式。

关键关系与条件

柱坐标体积元 $\mathrm{d}V=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}z$。球坐标 $x=\rho \sin \theta \cos \phi ,y=\rho \sin \theta \sin \phi ,z=\rho \cos \theta$，$\mathrm{d}V={\rho }^2\sin \theta \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$，其中 $\rho \ge 0,0\le \theta \le \pi$。

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第一类曲线积分与弧长

第一类曲线积分沿曲线按弧长累计标量密度，可用于细线质量。参数速度的模给出弧长微元，因此同一条曲线反向走不会改变结果。参数必须覆盖目标曲线，若重复覆盖会重复累计。它与计算功的向量线积分具有不同方向性质。

关键关系与条件

对分段光滑参数曲线 $r(t),a\le t\le b$，${\int }_{C}f\mathrm{d}s={\int }_a^{b}f(r(t))\parallel r^{\prime }(t)\parallel \mathrm{d}t$；取 $f=1$ 得弧长。若改成反向参数但只覆盖一次，积分不变。

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向量线积分与 Green 定理

向量场的线积分计算沿路径做功，反向路径使积分变号。若向量场是某势函数的梯度，则积分仅取决于端点。Green 定理把平面闭曲线环流转成区域内旋转强度的积分；正向边界指行进时区域在左侧，含孔区域的内边界因此顺时针。

关键关系与条件

${\int }_{C}F\cdot \mathrm{d}r={\int }_a^{b}F(r(t))\cdot r^{\prime }(t)\mathrm{d}t$。若 $F=\mathrm{\nabla }\varphi$，则积分为 $\varphi (B)-\varphi (A)$。若 $P,Q$ 在规则区域 $D$ 的邻域为 $C^1$，则 ${\oint }_{\partial D}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y)={\iint }_D(Q_x-P_y)\mathrm{d}A$，边界取正向。

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曲面积分与 Gauss 散度定理

标量曲面积分按面积累计；通量积分还取决于法向方向。Gauss 定理把闭曲面向外通量化为体内散度的体积分，要求场在整个体积及边界附近足够光滑。若内部存在奇点，必须挖去奇点并计入新边界，不能直接使用零散度结论。

关键关系与条件

参数曲面 $r(u,v)$ 的面积元为 $\parallel r_u\times r_v\parallel \mathrm{d}u\mathrm{d}v$；定向通量为 $\iint F(r)\cdot (r_u\times r_v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$。对 $C^1$ 场及分片光滑闭边界，${\text{oiint}}_{\partial V}F\cdot n\mathrm{d}S={\iiint }_V\mathrm{\nabla }\cdot F\mathrm{d}V$，$n$ 为外法向。

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旋度与 Stokes 定理

旋度描述向量场的局部环流。Stokes 定理把曲面上的旋度通量转为边界的线积分，曲面法向与边界方向必须按右手规则匹配。边界相同的曲面可用于简化计算，但场要在所用曲面附近光滑。闭曲面的边界为空，需与散度定理区别。

关键关系与条件

$\mathrm{\nabla }\times F=({\partial }_y{F}_z-{\partial }_z{F}_y,{\partial }_z{F}_x-{\partial }_x{F}_z,{\partial }_x{F}_y-{\partial }_y{F}_x)$。对定向分片光滑曲面 $S$ 和其邻域内 $C^1$ 场，${\oint }_{\partial S}F\cdot \mathrm{d}r={\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times F)\cdot n\mathrm{d}S$。

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