大学第1阶段数学习题集 · 函数、数列与数学语言至Taylor 展开与余项

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 20 个知识点；配套 40 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

大学第1阶段数学习题集

先独立列出条件和解题步骤，再展开答案。基础计算题用于检查概念，辨析与证明题用于检查条件；每题解答均默认关闭。两题覆盖的是本版入门目标，不能代替整门课程的题量。

知识点 → 题号对照

编号	知识点	题号
u1-01	函数、数列与数学语言	1、2
u1-02	极限与无穷小	3、4
u1-03	连续性与闭区间定理	5、6
u1-04	导数定义与可微性	7、8
u1-05	求导法则与初等函数	9、10
u1-06	隐函数与参数方程求导	11、12
u1-07	中值定理与误差界	13、14
u1-08	单调、极值与凹凸	15、16
u1-09	洛必达法则与未定式	17、18
u1-10	Taylor 展开与余项	19、20
u1-11	原函数与不定积分	21、22
u1-12	换元与分部积分	23、24
u1-13	定积分与微积分基本定理	25、26
u1-14	积分的几何与物理应用	27、28
u1-15	反常积分与收敛判别	29、30
u1-16	矩阵运算与线性表示	31、32
u1-17	行列式与可逆性判据	33、34
u1-18	逆矩阵与线性方程组	35、36
u1-19	消元、秩与解的结构	37、38
u1-20	向量空间、基与维数	39、40

函数、数列与数学语言

知识回顾 · 公式速查

题 1

设 $f (x) = \ln x$ 、 $g (x) = 1 - x^{2}$ ，求 $f \circ g$ 的定义域。

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要求对数真数 $1 - x^{2} > 0$ ，等价于 $- 1 < x < 1$ ，故定义域为 $(- 1, 1)$ 。易错： $g$ 自身可在所有实数上取值，但复合函数还必须满足外层函数的条件。

题 2

证明 $a_{n} = n / (n + 1)$ 收敛并求其极限，判断是否有最大项。

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有 $a_{n + 1} - a_{n} = 1 / [(n + 1) (n + 2)] > 0$ ，且 $a_{n} < 1$ ，由单调有界定理收敛；再写成 $1 - 1 / (n + 1)$ 得极限为 $1$ 。每项后都有更大的项，所以无最大项。易错：上确界可以不被取到。

极限与无穷小

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题 3

求 $lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{x}$ 。

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写成 $3 \sin (3 x) / (3 x)$ ，利用 $\sin u / u \to 1$ ，极限为 $3$ 。易错：基本极限中的自变量必须一致，不能漏掉系数 $3$ 。

题 4

判断 $lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x}$ 是否存在。

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当 $x > 0$ 时商为 $1$ ，当 $x < 0$ 时商为 $- 1$ 。左右极限不同，因此两侧极限不存在。易错：分子分母均趋零并不说明极限是零。

连续性与闭区间定理

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题 5

令 $f (x) = \sin x / x$ （ $x \neq 0$ ），在 $x = 0$ 处补何值可使它连续？

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基本极限给出 $lim_{x \to 0} \sin x / x = 1$ ，故应定义 $f (0) = 1$ 。这修补了可去间断点。易错：只赋一个值不能修复左右极限不同的跳跃间断。

题 6

证明方程 $x^{3} + x - 1 = 0$ 在 $(0, 1)$ 内恰有一个实根。

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多项式连续，端点值为 $- 1$ 与 $1$ ，介值定理保证至少一根。若 $v > u$ ，则 $v^{3} + v > u^{3} + u$ ，函数严格递增，故至多一根。两者合并得到唯一性。易错：异号只保证存在，不自动保证唯一。

导数定义与可微性

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题 7

用定义求 $f (x) = x^{2}$ 在 $a = 2$ 处的导数及切线。

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差商 $[(2 + h)^{2} - 4] / h = 4 + h$ ，极限为 $4$ 。切线 $y - 4 = 4 (x - 2)$ ，即 $y = 4 x - 4$ 。易错：切线必须通过接触点 $(2, 4)$ 。

题 8

说明 $f (x) = | x |$ 在 $0$ 连续但不可导。

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$| x | \to 0 = f (0)$ ，故连续。导数差商 $| h | / h$ 的左极限是 $- 1$ 、右极限是 $1$ ，因此导数不存在。易错：函数值两侧接近不代表斜率两侧一致。

求导法则与初等函数

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题 9

求 $y = \ln (1 + x^{2})$ 的导数；再求 $\arctan (2 x)$ 的导数。

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外层对数导数为真数的倒数，内层导数为 $2 x$ ，故 $y^{'} = 2 x / (1 + x^{2})$ ，对所有实数成立。同理由链式法则， $(\arctan (2 x))^{'} = 2 / (1 + 4 x^{2})$ 。易错：漏乘内层导数会把链式法则误当成简单替换。

题 10

求 $y = x e^{x}$ 的二阶导数。

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乘积法则得 $y^{'} = e^{x} + x e^{x} = (1 + x) e^{x}$ ；再次求导得 $y^{″} = e^{x} + (1 + x) e^{x} = (x + 2) e^{x}$ 。易错：乘积的导数不是两个导数的乘积。

隐函数与参数方程求导

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题 11

在圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 上求点 $(3, 4)$ 处切线斜率。

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对关系求导得 $2 x + 2 y y^{'} = 0$ 。因该点 $y = 4 \neq 0$ ，可除得 $y^{'} = - x / y = - 3 / 4$ 。易错： $y^{2}$ 的导数是 $2 y y^{'}$ 。

题 12

参数曲线 $x = t^{2}, y = t^{3}$ 在 $t = 1$ 处的第一、二阶导数是多少？

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$x^{'} = 2 t$ 、 $y^{'} = 3 t^{2}$ ，故 $d y / d x = 3 t / 2$ ，在 $t = 1$ 为 $3 / 2$ 。二阶导数为 $(3 / 2) / (2 t) = 3 / (4 t)$ ，在该点为 $3 / 4$ 。易错：二阶导数不是 $y^{″} (t) / x^{″} (t)$ 。

中值定理与误差界

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题 13

对 $f (x) = x^{2}$ 在 $[1, 3]$ 上求满足中值定理的点 $c$ 。

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函数满足连续与可导条件；割线斜率 $(9 - 1) / (3 - 1) = 4$ ，解 $f^{'} (c) = 2 c = 4$ 得 $c = 2 \in (1, 3)$ 。易错：定理中的点必须处在开区间内。

题 14

不用小数计算，证明 $| \sin 0.11 - \sin 0.10 | \leq 0.01$ （单位为弧度）。

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对正弦函数使用中值定理，差值等于 $\cos c (0.11 - 0.10)$ ，其中 $c \in (0.10, 0.11)$ 。由 $| \cos c | \leq 1$ 得所需界。易错：这个界不要求知道中间点的具体值。

单调、极值与凹凸

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题 15

求 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 在 $[- 2, 2]$ 上的最大、最小值。

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$f^{'} = 3 x^{2} - 3$ ，内部临界点为 $\pm 1$ 。比较 $f (- 2) = - 2$ 、 $f (- 1) = 2$ 、 $f (1) = - 2$ 、 $f (2) = 2$ ，最大值为 $2$ ，最小值为 $- 2$ 。易错：局部极值与闭区间最值必须连同端点比较。

题 16

判断 $f (x) = x^{4}$ 的 $x = 0$ 是否为极值点、拐点。

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$x^{4} \geq 0$ 且只有 $x = 0$ 取零，因此是严格极小点。 $f^{″} = 12 x^{2} \geq 0$ ，零点两侧凹凸性不改变，所以不是拐点。易错： $f^{″} (0) = 0$ 既不能排除极值，也不能确认拐点。

洛必达法则与未定式

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题 17

求 $lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}}$ 。

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原式为 $0 / 0$ ；第一次求导比值为 $(e^{x} - 1) / (2 x)$ ，仍为 $0 / 0$ ，第二次为 $e^{x} / 2 \to 1 / 2$ 。所需导数在穿孔邻域满足条件，故极限是 $1 / 2$ 。易错：重复使用前仍须检查未定式。

题 18

求 $lim_{x \to 0^{+}} x \ln x$ 。

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写为 $\ln x / (1 / x)$ ，为无穷大之比。导数比 $(1 / x) / (- 1 / x^{2}) = - x \to 0$ ，故原极限为 $0$ 。易错： $0$ 乘负无穷是未定式，不能直接当作零。

Taylor 展开与余项

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题 19

用二阶 Maclaurin 多项式近似 $e^{0.1}$ ，并用 $e^{0.1} < 1.106$ 给出误差界。

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多项式值 $1 + 0.1 + {0.1}^{2} / 2 = 1.105$ 。三阶导数为 $e^{x}$ ，在 $[0, 0.1]$ 不超过 $1.106$ ，所以误差小于 $1.106 \times {0.1}^{3} / 6 < 0.000185$ 。易错：二阶多项式的 Lagrange 余项涉及三阶导数。

题 20

求 $lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^{3}}$ 。

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$\sin x = x - x^{3} / 6 + o (x^{3})$ ，故商为 $- 1 / 6 + o (1)$ ，极限 $- 1 / 6$ 。易错：只使用 $\sin x \sim x$ 会抹掉相减后决定极限的三次项。

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