九年级数学独立习题集 · 一元二次方程的解法至弧长、扇形与圆锥侧面积

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知识讲解 · 公式速查 · 独立习题集 · 数学总览

本页有 36 道题，每个知识点各两题。建议先独立作答、写出理由，再展开答案核对。

九年级数学独立习题集

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本页有 36 道题，每个知识点各两题。建议先独立作答、写出理由，再展开答案核对。

知识点	配套题号
j9-01 一元二次方程的解法	题 1、题 2
j9-02 判别式与根系关系	题 3、题 4
j9-03 二次函数的顶点与图象	题 5、题 6
j9-04 二次函数的实际最值	题 7、题 8
j9-05 反比例函数	题 9、题 10
j9-06 比例线段与相似三角形	题 11、题 12
j9-07 锐角三角函数与解直角三角形	题 13、题 14
j9-08 圆的弦、半径与切线	题 15、题 16
j9-09 圆心角与圆周角	题 17、题 18
j9-10 圆内接四边形与正多边形	题 19、题 20
j9-11 弧长、扇形与圆锥侧面积	题 21、题 22
j9-12 平移、旋转与轴对称	题 23、题 24
j9-13 树状图与列表法求概率	题 25、题 26
j9-14 独立试验与无放回抽取	题 27、题 28
j9-15 抽样调查与总体估计	题 29、题 30
j9-16 频数分布与数据比较	题 31、题 32
j9-17 坐标几何中的交点与面积	题 33、题 34
j9-18 综合几何证明与分类讨论	题 35、题 36

一元二次方程的解法

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题 1

解 $x^2-5x+6=0$。

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答案： $x=2$ 或 $x=3$。

思路与计算： 因式分解为 $(x-2)(x-3)=0$，至少一个因式为零。

易错提醒： 解答要列出两个根。

题 2

解 $2x^2-3x-2=0$。

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答案： $x=2$ 或 $x=-\frac{1}{2}$。

思路与计算： $(2x+1)(x-2)=0$，分别令两因式为零；代回可检验。

易错提醒： 从 $2x+1=0$ 得到的是 $-1/2$。

判别式与根系关系

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题 3

方程 $x^2-4x+k=0$ 有两个相等实根，求 $k$。

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答案： $k=4$。

思路与计算： $\mathrm{\Delta }=16-4k=0$，得 $k=4$；此时方程为 $(x-2{)}^2=0$。

易错提醒： “相等实根”对应判别式等于零。

题 4

$x_1,x_2$ 是 $x^2-3x+1=0$ 的根，求 $x_1^2+x_2^2$。

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答案： $7$。

思路与计算： 根和为 $3$，根积为 $1$，所以平方和 $=3^2-2\times 1=7$。

易错提醒： 平方和不是根和的平方，必须减去交叉项。

二次函数的顶点与图象

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题 5

求 $y=x^2-4x+1$ 的顶点、对称轴与最小值。

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答案： 顶点 $(2,-3)$，对称轴 $x=2$，最小值 $-3$。

思路与计算： 配方为 $y=(x-2{)}^2-3$，平方项最小为零。

易错提醒： 顶点横坐标取括号内使平方为零的数。

题 6

求 $y=-2(x+1{)}^2+8$ 与 $x$ 轴的交点。

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答案： $(-3,0)$ 与 $(1,0)$。

思路与计算： 令 $y=0$ 得 $(x+1{)}^2=4$，故 $x+1=\pm 2$，得到 $x=-3,1$。

易错提醒： 开平方须保留正负两种情况。

二次函数的实际最值

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题 7

周长为 $20$ 的长方形，一边为 $x$，求面积最大值。

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答案： 最大面积 $25$，在两边都为 $5$ 时取得。

思路与计算： 另一边 $10-x$，且 $0<x<10$；$S=x(10-x)=25-(x-5{)}^2$，顶点在允许范围内。

易错提醒： 两边长度必须都为正。

题 8

当 $0\le x\le 2$ 时，求 $f(x)=-(x-3{)}^2+9$ 的最大值。

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答案： $8$，在 $x=2$ 取得。

思路与计算： 顶点横坐标 $3$ 不在区间内；区间上随 $x$ 增大而增大，故最大值为 $f(2)=8$。

易错提醒： 不能直接写整个抛物线的最大值 9。

反比例函数

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题 9

反比例函数经过 $(2,6)$，求解析式及 $x=-3$ 时的函数值。

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答案： $y=\frac{12}{x}$；函数值为 $-4$。

思路与计算： 由 $k=xy=12$，再代入 $x=-3$。

易错提醒： 不能把 $k$ 求成 $y/x$，那是正比例关系的系数。

题 10

点 $P$ 在 $y=-8/x$ 上，$O$ 为原点，$H$ 为 $P$ 在 $x$ 轴上的垂足，求直角三角形 $OPH$ 的面积。

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答案： $4$。

思路与计算： 面积为 $\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|-8|=4$。

易错提醒： 面积取正，不能直接写 $k/2=-4$。

比例线段与相似三角形

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题 11

两个相似三角形对应边比为 $2:3$，小三角形面积为 $12$，求大三角形面积。

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答案： $27$。

思路与计算： 面积比为 $4:9$，所以大面积 $=12\times 9/4=27$。

易错提醒： 面积不能只乘长度比 $3/2$。

题 12

在三角形 $ABC$ 中，$D,E$ 分别在 $AB,AC$ 上，$DE\parallel BC$。若 $AD/AB=2/5,BC=15$，求 $DE$。

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答案： $6$。

思路与计算： 平行产生对应角相等，所以 $\mathrm{△}ADE\sim \mathrm{△}ABC$；$DE/BC=AD/AB=2/5$。

易错提醒： 比值用 $AD/AB$，不是 $AD/DB$。

锐角三角函数与解直角三角形

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题 13

直角三角形中锐角 $A={30}^{\circ }$，斜边长 $10$，求 $A$ 的对边长。

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答案： $5$。

思路与计算： $\sin {30}^{\circ }=1/2=\text{对边}/10$，因此对边为 $5$。

易错提醒： 正弦关联对边与斜边。

题 14

从距旗杆底部水平 $12$ 米、与底部同高的位置看杆顶，仰角 ${45}^{\circ }$，求旗杆高。

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答案： $12$ 米。

思路与计算： $\tan {45}^{\circ }=h/12=1$，所以 $h=12$。

易错提醒： 本题观察点与底部同高；若有眼高还需另加。

圆的弦、半径与切线

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题 15

圆半径为 $5$，圆心到某弦距离为 $3$，求弦长。

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答案： $8$。

思路与计算： 垂径平分弦，半弦长 $\sqrt{5^2-3^2}=4$，整弦长为 $8$。

易错提醒： 勾股求出的是半弦长。

题 16

圆半径 $6$，圆心到直线距离也是 $6$，直线与圆有何位置关系？

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答案： 相切。

思路与计算： 距离等于半径，直线与圆只有一个公共点。

易错提醒： 比较的是圆心到直线的垂直距离。

圆心角与圆周角

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题 17

一条小弧对应圆心角 ${100}^{\circ }$，顶点在该小弧外的圆周角是多少？

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答案： ${50}^{\circ }$。

思路与计算： 圆周角等于同弧圆心角的一半，${100}^{\circ }/2={50}^{\circ }$。

易错提醒： 必须是同一条弧，不能只看相同端点忽略顶点位置。

题 18

$AB$ 是直径，$C$ 在圆上，$AC=6,BC=8$，求半径。

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答案： $5$。

思路与计算： $\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$，所以 $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$，半径为 $5$。

易错提醒： 勾股得到直径，再除以 2 得半径。

圆内接四边形与正多边形

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题 19

圆内接四边形一个内角为 ${72}^{\circ }$，求它的对角。

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答案： ${108}^{\circ }$。

思路与计算： 对角互补，${180}^{\circ }-{72}^{\circ }={108}^{\circ }$。

易错提醒： 相邻角一般不保证互补。

题 20

正六边形外接圆半径为 $4$，求边长与周长。

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答案： 边长 $4$，周长 $24$。

思路与计算： 中心角为 ${60}^{\circ }$，中心与相邻顶点构成等边三角形，因此边长等于半径。

易错提醒： 正六边形的这个等边性质不能直接推广到所有正多边形。

弧长、扇形与圆锥侧面积

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题 21

半径 $6$、圆心角 ${120}^{\circ }$ 的扇形，求弧长与面积。

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答案： 弧长 $4\pi$，面积 $12\pi$。

思路与计算： 分别代入 $120\pi \times 6/180$ 与 $120\pi \times 36/360$。

易错提醒： 弧长与面积单位分别为长度与面积。

题 22

直圆锥底面半径 $3$、高 $4$，求侧面积。

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答案： $15\pi$。

思路与计算： 母线 $L=\sqrt{3^2+4^2}=5$，侧面积 $\pi rL=15\pi$。

易错提醒： 侧面积不包含底面，也不能用高代替母线。