大学第2阶段数学知识讲解 · 期望、方差与协方差至假设检验与错误类型

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知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 24 个知识点；配套 48 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

期望、方差与协方差

期望描述长期平均，方差描述围绕均值的平方波动，协方差描述两变量线性共同变化。期望的线性性不要求独立；方差相加则需处理协方差。独立且有有限二阶矩时不相关，反过来通常不成立。相关系数只衡量线性关联。

关键关系与条件

当 $E|X|<\mathrm{\infty }$ 时，离散情形 $EX=\sum _{x}xP(X=x)$，有密度时 $EX={\int }_{\mathbb{R}}x{f}_X(x)\mathrm{d}x$。函数期望相应为 $E[h(X)]=\sum _{x}h(x)P(X=x)$ 或 $\int h(x)f_X(x)\mathrm{d}x$，有限期望要求绝对可积。$E(aX+bY)=aEX+bEY$ 要求相关期望有限。以下方差、协方差公式要求有限二阶矩：$\mathrm{Var}X=E(X^2)-(EX{)}^2$；$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-EXEY$。$\mathrm{Var}(aX+bY)=a^2\mathrm{Var}X+b^2\mathrm{Var}Y+2ab\mathrm{Cov}(X,Y)$。方差均有限且严格为正时相关系数 $\rho =\mathrm{Cov}(X,Y)/({\sigma }_X{\sigma }_Y)$。

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大数定律与中心极限定理

大数定律说明样本平均趋近总体均值；中心极限定理描述其误差经缩放后的分布。二者都不保证每次有限样本平均恰好等于均值。独立同分布且有限正方差是本篇采用的基本条件；重尾无限方差或强依赖数据不能直接套用。

关键关系与条件

若 $X_i$ 独立同分布且 $E|X_i|<\mathrm{\infty }$，样本均值 ${\overline{X}}_n$ 依概率趋于 $\mu$。若还满足 $0<{\sigma }^2<\mathrm{\infty }$，则 $\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )/\sigma$ 依分布趋于 $N(0,1)$。$\mathrm{Var}{\overline{X}}_n={\sigma }^2/n$，标准误为 $\sigma /\sqrt{n}$。

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参数估计与置信区间

点估计用样本统计量给出参数的单个估计，区间估计同时表达抽样不确定性。样本方差用 $n-1$ 作分母可在独立同分布且有限方差下得到无偏估计。频率学派的置信水平描述重复抽样时区间覆盖固定真值的比例，而不是固定真值随机落入既定区间的概率。

关键关系与条件

$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum X_i$，$S^2=\frac{1}{n-1}\sum (X_i-\overline{X}{)}^2$（$n\ge 2$）。以下区间均要求独立同分布正态样本、$0<\alpha <1$，$z_p,t_{\nu ,p}$ 表示相应分布的 $p$ 分位数。正态总体、已知 $\sigma$ 的均值 $1-\alpha$ 置信区间为 $\overline{X}\pm z_{1-\alpha /2}\sigma /\sqrt{n}$。正态总体、未知方差时用 $\overline{X}\pm t_{n-1,1-\alpha /2}S/\sqrt{n}$。

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假设检验与错误类型

假设检验先提出原假设和备择假设，再按原假设下统计量的分布判断证据。$p$ 值是在原假设成立时，得到至少同样极端数据的概率，不是原假设为真的概率。第一类错误是拒绝了真实的原假设，第二类错误是未拒绝错误的原假设；未拒绝不等于证明原假设。

关键关系与条件

独立同分布正态样本、已知总体标准差 $\sigma >0$ 时，检验 $H_0:\mu ={\mu }_0$ 用 $Z=(\overline{X}-{\mu }_0)/(\sigma /\sqrt{n})$。双侧显著性水平 $\alpha$ 下，$|Z|>z_{1-\alpha /2}$ 时拒绝；双侧 $p=2[1-\mathrm{\Phi }(|Z|)]$。检验方向须在观察结果前确定。

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