高一数学独立习题集 · 角度制、弧度制与扇形至复数、共轭与复平面

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本页有 40 道题，每个知识点各两题。建议先独立作答、写出理由，再展开答案核对。

角度制、弧度制与扇形

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题 23

把 ${150}^{\circ }$ 化为弧度，把 $\frac{3\pi }{4}$ 化为角度。

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答案： $\frac{5\pi }{6}$；${135}^{\circ }$。

思路与计算： 分别乘 $\pi /180$ 与 $180/\pi$。

易错提醒： 换算后不要混写不匹配的单位符号。

题 24

半径为 $4$、圆心角为 $\frac{\pi }{3}$ 的扇形，求弧长与面积。

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答案： 弧长 $\frac{4\pi }{3}$，面积 $\frac{8\pi }{3}$。

思路与计算： 代入 $l=r\theta$ 与 $S=r^2\theta /2$。

易错提醒： 角已经是弧度，不需再次乘 $\pi /180$。

单位圆与任意角三角函数

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题 25

求 $\sin \frac{5\pi }{6}$ 与 $\cos \frac{5\pi }{6}$。

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答案： $\frac{1}{2}$ 与 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

思路与计算： 该角在第二象限，参考角为 $\pi /6$，正弦正、余弦负。

易错提醒： 参考角只确定绝对值，符号由象限决定。

题 26

当 $\theta =\pi /2$ 时，正弦、余弦和正切分别怎样？

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答案： $\sin \theta =1,\cos \theta =0$，正切无定义。

思路与计算： 终边交单位圆于 $(0,1)$，正切的分母为零。

易错提醒： 正切无定义不能当作一个普通实数“无穷大”。

正弦、余弦与正切图象

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题 27

求 $y=3\sin (2x-\pi )+1$ 的振幅、周期与值域。

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答案： 振幅 $3$，周期 $\pi$，值域 $[-2,4]$。

思路与计算： 振幅取 $3$，周期 $2\pi /2=\pi$；正弦部分在 $[-3,3]$，整体上移 1。

易错提醒： 竖直平移不改变振幅。

题 28

$y=\sin (2x-\pi /3)$ 相对 $y=\sin 2x$ 向哪个方向平移多少？

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答案： 向右平移 $\pi /6$。

思路与计算： 写成 $\sin (2(x-\pi /6))$，由内部输入相等确定平移量。

易错提醒： 不能直接把常数 $\pi /3$ 当水平位移。

同角关系、诱导公式与化简

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题 29

已知 $\sin \theta =3/5$ 且 $\theta$ 在第二象限，求 $\cos \theta ,\tan \theta$。

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答案： $\cos \theta =-4/5,\tan \theta =-3/4$。

思路与计算： 余弦平方为 $1-9/25=16/25$，第二象限余弦负；再作正弦与余弦之比。

易错提醒： 不能遗漏象限对根号符号的约束。

题 30

化简 $\frac{1-{\cos }^{2}x}{\sin x}$ 并说明条件。

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答案： $\sin x$，条件 $\sin x\ne 0$。

思路与计算： 分子为 ${\sin }^{2}x$，约去非零的 $\sin x$。

易错提醒： 简化后的式子不能自动扩展到原分母为零的点。

和差角、倍角与三角恒等变换

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题 31

求 $\sin {75}^{\circ }$ 的精确值。

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答案： $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。

思路与计算： ${75}^{\circ }={45}^{\circ }+{30}^{\circ }$，代入和角公式得到 $\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}$。

易错提醒： 正弦和角公式不是两正弦直接相加。

题 32

已知 $\sin x=1/3$，求 $\cos 2x$。

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答案： $7/9$。

思路与计算： 选择不需要余弦符号的形式：$1-2{\sin }^{2}x=1-2/9=7/9$。

易错提醒： 使用适合已知量的公式可避免不必要的象限分类。

正弦定理、余弦定理与三角形面积

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题 33

三角形两边为 $3,4$，夹角 ${60}^{\circ }$，求第三边。

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答案： $\sqrt{13}$。

思路与计算： 余弦定理得 $c^2=9+16-2\times 3\times 4\times 1/2=13$。

易错提醒： 夹角对应的对边才是公式左侧所求边。

题 34

三角形两边为 $5,6$，夹角 ${30}^{\circ }$，求面积。

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答案： $15/2$。

思路与计算： $S=\frac{1}{2}\times 5\times 6\times \frac{1}{2}=15/2$。

易错提醒： 面积公式包含前面的 $1/2$。

平面向量、坐标与线性运算

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题 35

$A(1,-2),B(4,3)$，求 $\overrightarrow{AB}$ 与其中点。

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答案： $\overrightarrow{AB}=(3,5)$，中点 $(5/2,1/2)$。

思路与计算： 向量用终点减起点；中点坐标用两端坐标分别平均。

易错提醒： 向量坐标与点坐标代表不同对象。

题 36

向量 $(2,3)$ 与 $(k,6)$ 平行，求 $k$。

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答案： $k=4$。

思路与计算： 第二分量为原来的 2 倍，因此第一分量也应为 2 倍；或解 $12-3k=0$。

易错提醒： 比例关系应在对应分量之间保持一致。

数量积、夹角与投影

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题 37

向量 $\mathbf{a}=(1,2),\mathbf{b}=(2,-1)$ 是否垂直？

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答案： 垂直。

思路与计算： 两向量均非零，数量积 $1\times 2+2\times (-1)=0$。

易错提醒： 夹角公式对零向量不适用。

题 38

求向量 $(1,0)$ 与 $(1,1)$ 的夹角。

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答案： ${45}^{\circ }$（或 $\pi /4$）。

思路与计算： 数量积为 1，长度分别为 1 与 $\sqrt{2}$，故余弦为 $1/\sqrt{2}$，夹角范围取 $[0,\pi ]$。

易错提醒： 向量夹角采用非定向的 $0$ 到 $\pi$ 范围。

复数、共轭与复平面

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题 39

计算 $(2+i)(1-3i)$。

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答案： $5-5i$。

思路与计算： 展开得 $2-6i+i-3i^2$，用 $i^2=-1$ 得 $5-5i$。

易错提醒： 虚部是 $-5$，不是 $-5i$。

题 40

求 $z=3-4i$ 的模、共轭及 $1/z$。

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答案： 模 $5$，共轭 $3+4i$，$1/z=(3+4i)/25$。

思路与计算： 模为 $\sqrt{9+16}$；倒数分子分母乘 $3+4i$，分母为 $25$。

易错提醒： 模不是实部与虚部的直接和。