大学第4阶段数学习题集 · 度量空间、开集与连续映射至模型拟合、验证与可辨识性

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知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 22 个知识点；配套 44 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

度量空间、开集与连续映射

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题 19

在通常实数度量下，$(0,1)$ 与 $[0,1]$ 哪个开、哪个闭？

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$(0,1)$ 中每点可取小球避开端点，所以开；它不含极限点 $0,1$，因此不闭。$[0,1]$ 含所有极限点，故闭；端点没有包含在集合内的实数开邻域，因此不开放。易错：开与闭不是互斥且穷尽的两类，存在既开又闭或两者都不是的集合。

题 20

在子空间 $X=[0,1]$ 中，集合 $[0,1/2)$ 是否开？说明依据。

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它等于 $X\cap (-1,1/2)$，其中后者在实数中是开集，所以在子空间 $X$ 内为开集。易错：子空间的邻域只需考虑环境 $X$ 内的点，不要求包含负数。

紧致性与连通性

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题 21

判断 $(0,1)$ 与 $[0,1]$ 是否紧，并用函数说明区别。

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$[0,1]$ 闭且有界，所以紧。$(0,1)$ 不闭，所以不紧；连续函数 $f(x)=x$ 在该开区间没有最大或最小值，而在闭区间两者都取得。易错：有界单独不足以推出紧致。

题 22

是否存在连续函数 $f:[0,1]\to \mathbb{R}$，其像恰为 $\{0,1\}$？

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不存在。区间连通，连续像必须连通；$\{0,1\}$ 不连通。也可由介值定理：若同时取到 $0,1$，就必须取到 $1/2$，与要求矛盾。易错：常值映射的像只有一个点，不满足恰有两个值。

群、子群与同态

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题 23

在加法群 ${\mathbb{Z}}_6$ 中，元素 2 的阶及其生成子群是什么？

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反复相加得到 $2,4,0$，最小正次数为 $3$，所以阶为 $3$，生成子群为 $\{0,2,4\}$。易错：加法群的单位元是 $0$，不是 $1$。

题 24

映射 $\varphi :\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_3$，$\varphi (n)=nmod3$，求其核，并判断是否满射。

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模运算保持加法，所以为群同态。核是所有 $3$ 的倍数 $3\mathbb{Z}$；余数 $0,1,2$ 都有原像，因此满射。易错：核是原群中的元素集合，不只是目标群中的零元素。

环、域与模运算

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题 25

求 3 在模 7 下的乘法逆元。

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$3\cdot 5=15\equiv 1(\mathrm{mod}7)$，所以逆元为 $5$。也可由 $5\cdot 3-2\cdot 7=1$ 得到。易错：求逆元的目标余数是 $1$。

题 26

说明 ${\mathbb{Z}}_6$ 不是域，并指出一个零因子。

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$2,3$ 都非零，却有 $2\cdot 3\equiv 0(\mathrm{mod}6)$，所以 $2$ 和 $3$ 都是零因子。若 $2$ 有逆元，两边乘逆元会得 $3=0$，矛盾，因此它不是域。易错：非零模类不一定可除。

Hilbert 空间与算子入门

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题 27

在 $L^2[0,1]$ 中，将 $f(x)=x$ 投影到常数函数构成的子空间。

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取基函数 $1$，投影系数 $⟨x,1⟩/⟨1,1⟩=(1/2)/1=1/2$，所以最佳常数为 $1/2$。余量积分为零，与常数子空间正交。易错：最小平方误差投影不是逐点相等。

题 28

在 $L^2[0,1]$ 上定义 $Tf(x)=xf(x)$，证明它有界。

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因 $0\le x\le 1$，有 $\parallel Tf{\parallel }_2^2={\int }_0^1{x}^2|f{|}^2\mathrm{d}x\le {\int }_0^1|f{|}^2\mathrm{d}x=\parallel f{\parallel }_2^2$。因此可取界 $C=1$，线性且有界。易错：证明需对所有 $f$ 给出同一个常数。

离散时间 Markov 链

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题 29

转移矩阵 $P=\left(\begin{array}{cc}0.8& 0.2\\ 0.4& 0.6\end{array}\right)$，初始确定在状态 1，求一步后分布。

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初始行向量 $(1,0)$，右乘 $P$ 得 $(0.8,0.2)$。易错：这里采用行向量约定，若改用列向量必须同步转置递推关系。

题 30

求同一矩阵的平稳分布。

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设 $\pi =(p,1-p)$，平稳条件 $p=0.8p+0.4(1-p)$，得 $0.6p=0.4$，所以 $\pi =(2/3,1/3)$。链不可约且有自环，故非周期，长期分布也趋于此值。易错：平稳条件还必须加概率和为一。

Poisson 过程与更新等待

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题 31

到达速率为每小时 3 次的 Poisson 过程，两小时内没有到达的概率是多少？

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两小时计数参数为 $\lambda t=6$，零次概率为 $e^{-6}$。易错：速率单位与时间长度必须统一，不能直接使用参数 $3$。

题 32

同一过程的首次等待时间均值是多少？已等 20 分钟无人到达，再等 20 分钟仍无人到达的概率是多少？

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均值为 $1/3$ 小时，即 $20$ 分钟。指数无记忆性给条件概率 $e^{-3(1/3)}=e^{-1}$。易错：已经等待的时长不会改变此模型中未来剩余等待分布，但其他到达模型未必如此。

Brownian 运动与随机微分入门

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题 33

求标准 Brownian 运动中 $E{B}_3$、$\mathrm{Var}{B}_3$ 与 $\mathrm{Cov}(B_1,B_3)$。

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均值为 $0$，方差为 $3$，协方差为 $min(1,3)=1$。可写 $B_3=B_1+(B_3-B_1)$，后项与 $B_1$ 独立得到协方差。易错：不同时刻值不是独立的，独立的是不重叠增量。

题 34

用 Itô 公式求 $\mathrm{d}(B_t^2)$，并由此解释 $E(B_t^2)$。

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取 $f(x)=x^2$，一阶导数 $2x$、二阶导数 $2$，得 $\mathrm{d}(B_t^2)=2B_t\mathrm{d}{B}_t+\mathrm{d}t$。积分后随机积分期望为零，故 $E(B_t^2)=t$。易错：普通链式法则会漏掉 $\mathrm{d}t$ 修正项。

平稳过程与 AR 时间序列

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题 35

平稳 AR(1) 中 $\varphi =1/2$，噪声方差为 3，求过程方差及一阶自相关。

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方差为 $3/(1-1/4)=4$，一阶自相关为 $1/2$。易错：过程方差包含历史噪声累积，不等于单期噪声方差。

题 36

随机游走 $X_t=X_{t-1}+{\epsilon }_t,X_0=0$，噪声独立、均值零、方差 1。它是否弱平稳？

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$X_t=\sum _{j=1}^t{\epsilon }_j$，因此方差为 $t$，随时间增长，不满足弱平稳。这里 $\varphi =1$ 不符合平稳 AR(1) 的条件。易错：均值恒为零并不足以保证平稳。

数学建模与量纲分析

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题 37

假设小摆周期只取决于摆长 $\ell$、重力加速度 $g$ 和无量纲常数，推导其尺度关系。

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由量纲方程得 $b=-1/2,a=1/2$，所以 $T=C\sqrt{\ell /g}$。量纲分析不能给出常数 $C$；小角近似动力学进一步给 $C=2\pi$。易错：有限大振幅会引入额外无量纲参数。

题 38

模型写成 $M(t)=M_0{e}^{-kt}$，其中时间以小时计，求 $k$ 的量纲，并把 $k=0.2{\mathrm{h}}^{-1}$ 转为每分钟单位。

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指数 $kt$ 必须无量纲，所以 $k$ 为时间倒数。因一小时为 $60$ 分钟，$k=0.2/60=1/300{\min }^{-1}$。易错：速率换成更小时间单位时数值要除以 $60$。

模型拟合、验证与可辨识性

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题 39

真实值为 $2,4$，预测值为 $3,3$，求 RMSE 和平均残差（定义残差为真实减预测）。

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残差为 $-1,1$，均值为零；平方均值为 $(1+1)/2=1$，RMSE 为 $1$。易错：平均残差为零可能只是正负抵消，不代表预测无误差。

题 40

模型 $y=(a+b)x$ 仅观测多组 $(x,y)$。能否分别确定 $a,b$？

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不能。任意 $c$，参数 $(a+c,b-c)$ 给出相同的和与相同预测，所以最多识别 $a+b$。需要额外观测或合理约束区分二者。易错：优化器返回一个参数组合不等于数据唯一决定了它。