高一数学独立习题集 · 集合、区间与集合运算至函数零点与方程根

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知识讲解 · 公式速查 · 独立习题集 · 数学总览

本页有 40 道题，每个知识点各两题。建议先独立作答、写出理由，再展开答案核对。

高一数学独立习题集

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本页有 40 道题，每个知识点各两题。建议先独立作答、写出理由，再展开答案核对。

知识点	配套题号
s10-01 集合、区间与集合运算	题 1、题 2
s10-02 充分必要条件与量词	题 3、题 4
s10-03 二次不等式与符号分析	题 5、题 6
s10-04 函数的定义域、值域与对应	题 7、题 8
s10-05 函数单调性与比较大小	题 9、题 10
s10-06 奇偶性与图象对称	题 11、题 12
s10-07 函数图象的平移与伸缩	题 13、题 14
s10-08 幂函数与有理指数	题 15、题 16
s10-09 指数函数与指数模型	题 17、题 18
s10-10 对数定义、运算与方程	题 19、题 20
s10-11 函数零点与方程根	题 21、题 22
s10-12 角度制、弧度制与扇形	题 23、题 24
s10-13 单位圆与任意角三角函数	题 25、题 26
s10-14 正弦、余弦与正切图象	题 27、题 28
s10-15 同角关系、诱导公式与化简	题 29、题 30
s10-16 和差角、倍角与三角恒等变换	题 31、题 32
s10-17 正弦定理、余弦定理与三角形面积	题 33、题 34
s10-18 平面向量、坐标与线性运算	题 35、题 36
s10-19 数量积、夹角与投影	题 37、题 38
s10-20 复数、共轭与复平面	题 39、题 40

集合、区间与集合运算

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题 1

设 $A=[-1,3),B=(1,5]$，求 $A\cap B$ 与 $A\cup B$。

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答案： 交集 $(1,3)$，并集 $[-1,5]$。

思路与计算： 交集只取两者共同覆盖处，端点 1 不在 $B$、3 不在 $A$；并集从 -1 连续覆盖到 5。

易错提醒： 交集的端点必须同时属于两个集合。

题 2

全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$，$A=\{2,4\}$，求补集。

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答案： $\{1,3,5\}$。

思路与计算： 从全集中去掉属于 $A$ 的元素 2 和 4，保留其余元素。

易错提醒： 补集离不开指定全集。

充分必要条件与量词

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题 3

在实数范围内，“$x=2$”是“$x^2=4$”的什么条件？

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答案： 充分不必要条件。

思路与计算： $x=2$ 可推出 $x^2=4$；但 $x=-2$ 也满足后者，所以反向不成立。

易错提醒： 判断两边都要检查，不能只验证一个方向。

题 4

写出“对所有实数 $x$，都有 $x^2>x$”的否定，并给出见证。

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答案： 存在实数 $x$，使 $x^2\le x$；例如 $x=0$。

思路与计算： 将全称改为存在，并把严格大于否定为小于等于；$0^2=0$ 确实满足否定关系。

易错提醒： “大于”的否定是“小于等于”，不是“小于”。

二次不等式与符号分析

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题 5

解 $x^2-5x+6\le 0$。

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答案： $[2,3]$。

思路与计算： 分解为 $(x-2)(x-3)$，开口向上，根间非正，且允许等号，所以含两端点。

易错提醒： 非严格不等式需包含使多项式为零的根。

题 6

解 $\frac{x-1}{x+2}>0$。

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答案： $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (1,+\mathrm{\infty })$。

思路与计算： 分界为 $-2,1$，分子分母同号时商为正；$x=-2$ 无定义，$x=1$ 使商为零也不满足。

易错提醒： 不能不分类就两边乘 $x+2$。

函数的定义域、值域与对应

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题 7

求 $f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}$ 的定义域。

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答案： $[1,3)\cup (3,+\mathrm{\infty })$。

思路与计算： 根式要求 $x\ge 1$，分母要求 $x\ne 3$，取两条件交集。

易错提醒： 根式非负允许 $x=1$，分母为零禁止 $x=3$。

题 8

求 $f(x)=(x-2{)}^2+1$ 在 $0\le x\le 3$ 上的值域。

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答案： $[1,5]$。

思路与计算： 顶点 $x=2$ 在区间内，最小值 $1$；两端点值为 $5,2$，最大值 $5$；连续性保证中间值可达。

易错提醒： 求最大值不能只看右端点。

函数单调性与比较大小

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题 9

说明 $f(x)=x^2$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上严格递增。

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答案： 严格递增。

思路与计算： 任取 $0\le x_1<x_2$，有 $x_2-x_1>0,x_2+x_1>0$，因此差值为正。

易错提醒： “平方越来越大”不能替代对任意两点的论证。

题 10

比较 $(-4{)}^2$ 与 $(-2{)}^2$，并说明 $x^2$ 在负半轴的单调性。

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答案： $16>4$；在 $(-\mathrm{\infty },0]$ 上严格递减。

思路与计算： 输入由 $-4$ 增至 $-2$，输出反而减小；一般差值因子 $x_1+x_2<0$，可验证递减。

易错提醒： 不要把正半轴上的结论扩展到全部实数。

奇偶性与图象对称

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题 11

判断 $f(x)=x^3-2x$ 的奇偶性。

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答案： 奇函数。

思路与计算： 定义域为全体实数；$f(-x)=-x^3+2x=-f(x)$。

易错提醒： 先确认定义域，再检验代数关系。

题 12

函数 $f(x)=x^2$ 限制在 $[0,2]$ 上，是否为偶函数？

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答案： 不是。

思路与计算： 定义域 $[0,2]$ 不关于零对称，例如 1 在定义域但 -1 不在，因此不满足本节的偶函数定义。

易错提醒： 同一个解析式配不同定义域，性质可能不同。

函数图象的平移与伸缩

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题 13

把 $y=x^2$ 的图象向右移 $3$、向下移 $2$，写解析式。

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答案： $y=(x-3{)}^2-2$。

思路与计算： 右移使原来输入零的位置变成 $x=3$，下移使全部输出减去 $2$。

易错提醒： 右移用 $x-3$，不是 $x+3$。

题 14

已知 $f(2)=5$，图象 $y=3f(2x)$ 上与该点对应的点是什么？

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答案： $(1,15)$。

思路与计算： 令内部输入 $2x=2$ 得 $x=1$，输出乘 3 得 $15$。

易错提醒： 横向压缩与纵向放大的倍率方向不同。

幂函数与有理指数

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题 15

计算 ${16}^{3/4}$。

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答案： $8$。

思路与计算： 先取四次方根得到 $2$，再立方得 $8$。

易错提醒： 分数指数不是把底数乘以分数。

题 16

求 $f(x)=x^{-2}$ 的定义域与值域。

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答案： 定义域 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$，值域 $(0,+\mathrm{\infty })$。

思路与计算： $f(x)=1/x^2$，分母不能为零，输出恒正；任意正值都可由适当非零 $x$ 取到。

易错提醒： 函数值可以趋近零，但不能等于零。

指数函数与指数模型

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题 17

解 $2^{x+1}=16$。

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答案： $x=3$。

思路与计算： $16=2^4$，同底数指数函数为一一对应，所以 $x+1=4$。

易错提醒： 把指数相等建立在相同合法底数上。

题 18

某数量初值 $200$，每期增长 $10\mathrm{\%}$，两期后是多少？

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答案： $242$。

思路与计算： $200\times {1.1}^2=242$，第二期增长基数是第一期末值。

易错提醒： 不能用 $200(1+2\times 0.1)$ 代替复合增长。

对数定义、运算与方程

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题 19

计算 ${\log }_{2}8+{\log }_2\frac{1}{4}$。

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答案： $1$。

思路与计算： 两项分别为 $3$ 与 $-2$，相加得 $1$；也可合并为 ${\log }_{2}2$。

易错提醒： 真数小于 1 时，对数值在底数大于 1 下可以为负。

题 20

解 ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x+1)=3$。

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答案： $x=3$。

思路与计算： 定义域要求 $x>1$；合并得到 ${\log }_2(x^2-1)=3$，所以 $x^2=9$，只保留 $3$。

易错提醒： 候选值 $-3$ 使原真数为负，必须舍去。

函数零点与方程根

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题 21

说明 $f(x)=x^3-2$ 在 $(1,2)$ 中恰有一个零点。

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答案： 恰有一个。

思路与计算： $f(1)=-1,f(2)=6$，多项式连续，故存在；$x^3$ 严格递增，故不可能有两个零点。

易错提醒： 异号只证明至少一个，唯一性要单独说明。

题 22

对上述函数在 $[1,2]$ 二分一次，保留哪个区间？

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答案： $[1,1.5]$。

思路与计算： 中点 $1.5$，函数值 $3.375-2=1.375>0$；与左端点负值异号，所以保留左半区间。

易错提醒： 不是按根看起来靠近哪边来选，而是检查符号。