数学公式速查

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初中公式

整式与根式

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2,(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2,a^2-b^2=(a+b)(a-b).$$

实数范围内 $\sqrt{a^2}=|a|$。根号不能对加法分配：$\sqrt{9+16}=5$，而 $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$。

一元二次方程

对 $a{x}^2+bx+c=0$，要求 $a\ne 0$，记 $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$：

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

$\mathrm{\Delta }>0$ 时两个不同实根，$\mathrm{\Delta }=0$ 时一个二重实根，$\mathrm{\Delta }<0$ 时无实根。两根计重数时满足 $x_1+x_2=-b/a$、$x_1{x}_2=c/a$。

例：$2x^2-5x+3=0$，判别式为1，故 $x=(5\pm 1)/4$，两解为 $1$ 和 $3/2$，分别代回都成立。

勾股、相似与圆

直角三角形的直角边 $a,b$、斜边 $c$ 满足 $a^2+b^2=c^2$。相似三角形对应边比 $k>0$ 时，周长比为 $k$，面积比为 $k^2$。只给一个三角形的三条边不能求出另一个相似三角形的大小，还必须给出对应边长或比例。

圆半径 $r>0$ 时：$C=2\pi r$，$S=\pi r^2$。普通扇形圆心角的角度数为 $0\le \theta \le 360$ 时：

$$l=\frac{\theta \pi r}{180},S_{\text{扇形}}=\frac{\theta \pi r^2}{360}.$$

图中 $AB$ 是直径，$C$ 在圆周上，因此 $\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$；普通三角形不能直接套勾股定理。

锐角三角函数

$$\sin \theta =\frac{\text{对边}}{\text{斜边}},\cos \theta =\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}},\tan \theta =\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}.$$

角	正弦	余弦	正切
${30}^{\circ }$	$1/2$	$\sqrt{3}/2$	$\sqrt{3}/3$
${45}^{\circ }$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1$
${60}^{\circ }$	$\sqrt{3}/2$	$1/2$	$\sqrt{3}$

高中公式

指数与对数

对 $a>0$，$a^{u+v}=a^u{a}^v$、$a^{-u}=1/a^u$。对数要求 $a>0,a\ne 1,x>0,y>0$：

$${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y,{\log }_a(x/y)={\log }_{a}x-{\log }_{a}y,{\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}.$$

实数范围的偶次根式 $\sqrt[n]{x}$ 要求 $x\ge 0$。不能忽略底数、真数或分母的条件。

数列与求和

对正整数 $n$，等差数列满足：

$$a_n=a_1+(n-1)d,S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}.$$

标准等比数列要求首项 $a_1\ne 0$、公比 $q\ne 0$，满足：

$$a_n=a_1{q}^{n-1},S_n=\{\begin{array}{ll}n{a}_1,& q=1,\\ a_1(1-q^n)/(1-q),& q\ne 1.\end{array}$$$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\sum _{k=1}^n{k}^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2.$$

$\sum$ 后必须有被求和的项。数列 $1,5,9,13,\dots$ 的第100项为 $1+99\times 4=397$。

正余弦定理

三角形中 $a,b,c$ 分别对应 $A,B,C$，$R$ 是外接圆半径：

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R,c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

其中 $C$ 必须是边 $a,b$ 的夹角。直角边为 $1,\sqrt{3}$ 时，夹角为 ${90}^{\circ }$，所以 $c^2=1+3-2\sqrt{3}\cos {90}^{\circ }=4$，斜边为2。

若 $A={30}^{\circ },B={45}^{\circ },a=2$，则 $C={105}^{\circ }$，$b=2\sqrt{2}$，而

$$c=\frac{2\sin {105}^{\circ }}{\sin {30}^{\circ }}=\sqrt{6}+\sqrt{2}.$$

坐标、向量与圆

$$d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2},d(P,Ax+By+C=0)=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$

点到直线公式要求 $A,B$ 不同时为0。斜截式 $y=kx+b$ 不表示竖直线，后者写作 $x=x_0$。

$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=u_x{v}_x+u_y{v}_y=\parallel \mathbf{u}\parallel \parallel \mathbf{v}\parallel \cos \theta ,(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2.$$

两个向量均非零时才可用数量积求夹角；圆心为 $(a,b)$，半径为 $r>0$。

计数与概率

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!},C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

$n,k$ 是整数，$0\le k\le n$，$0!=1$；对象不同且无放回，区分顺序用排列，不区分顺序用组合。

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}(P(B)>0),P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

只有独立时才有 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。互斥与独立是不同条件。

导数与大学衔接

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime },(f\circ g{)}^{\prime }=(f^{\prime }\circ g)g^{\prime }.$$

差商要求 $h\ne 0$，三角函数求导采用弧度。完整积分与级数见大一、大二。