高三数学公式速查

知识讲解 · 公式速查 · 独立习题集 · 数学总览

每个专题与知识讲解、习题使用相同编号。先检查条件，再代入公式；数值计算与几何作图统一单位。

等价变形与定义域追踪

$\sqrt{u}=v⟺u=v^2\text{ 且 }v\ge 0$（由右侧已保证 $u\ge 0$）。$u/v=w⟺u=vw\text{ 且 }v\ne 0$。$u^2=v^2⟺u=v\text{ 或 }u=-v$。

理解与示例 · 练习与讲解

函数交点与参数根数

方程 $f(x)=m$ 的实根数等于图象 $y=f(x)$ 与水平线 $y=m$ 的交点数。二次方程需先检查二次项系数是否为零，再用判别式；参数导致降次时不能套二次结论。

理解与示例 · 练习与讲解

用导数证明不等式

若要在区间 $D$ 上证明 $g(x)\ge 0$，可取内部点 $x_0$，确认 $g$ 在 $x_0$ 连续，在 $D\cap (-\mathrm{\infty },x_0)$ 递减、在 $D\cap (x_0,+\mathrm{\infty })$ 递增，且 $g(x_0)=0$。这些条件保证全局最小值为零。典型：$\ln x\le x-1(x>0)$，$e^x\ge 1+x(x\in \mathbb{R})$，等号分别仅在 $x=1$、$x=0$ 成立。

理解与示例 · 练习与讲解

指数对数复合与换元

$t=a^x\Rightarrow t>0$，$a>0,a\ne 1$。${\log }_{a}u>{\log }_{a}v$：当 $a>1$ 等价于 $u>v>0$；当 $0<a<1$ 等价于 $0<u<v$。复合定义域逐层检查。

理解与示例 · 练习与讲解

三角方程与周期解集

$\sin x=\sin \alpha ⟺x=\alpha +2k\pi$ 或 $x=\pi -\alpha +2k\pi$；$\cos x=\cos \alpha ⟺x=\pm \alpha +2k\pi$；$\tan x=\tan \alpha ⟺x=\alpha +k\pi$，$k\in \mathbb{Z}$，正切须有定义。

理解与示例 · 练习与讲解

解三角形中的多解与边界

由 $\sin B=b\sin A/a$，先检查 $0<b\sin A/a\le 1$。若值在 $(0,1)$，候选为 $B=\beta$ 或 $\pi -\beta$，保留满足 $A+B<\pi$ 的解。$A,B,C>0$，不能接受退化边界。

理解与示例 · 练习与讲解

向量与坐标综合证明

中点位置向量 $\mathbf{m}=(\mathbf{a}+\mathbf{b})/2$。$|\mathbf{u}+\mathbf{v}{|}^2-|\mathbf{u}-\mathbf{v}{|}^2=4\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$。对非零向量，数量积零等价于垂直。

理解与示例 · 练习与讲解

直线与圆锥曲线的联立

直线 $y=kx+m$ 上两交点横坐标 $x_1,x_2$，弦长 $L=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$，且 $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2$。该式用于两交点确实存在且直线非竖直时。

理解与示例 · 练习与讲解

圆锥曲线焦点性质与轨迹

椭圆 $P{F}_1+P{F}_2=2a>2c$；双曲线 $|P{F}_1-P{F}_2|=2a<2c$ 且 $a>0$；抛物线 $PF=d(P,l)$，焦点 $F\notin l$。定义中的不等条件用于避免退化。

理解与示例 · 练习与讲解

数列综合与求和估计

$a_1=S_1$；$a_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)$。$\sum _{k=1}^n\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$。放缩时同向不等式可逐项相加，严格性由至少一项严格决定。

理解与示例 · 练习与讲解

基本不等式与柯西不等式

$a+b\ge 2\sqrt{ab}$，$a,b\ge 0$，等号当且仅当 $a=b$。$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd{)}^2$，实数均可，差为 $(ad-bc{)}^2$，等号当且仅当 $ad=bc$。

理解与示例 · 练习与讲解

限制条件下的排列组合

至少一个满足 $=\text{全部}-\text{一个也不满足}$。$n$ 个互异对象中指定两人相邻排列数 $=2(n-1)!$，$n\ge 2$。选择题按组合计数，排列题按顺序计数。

理解与示例 · 练习与讲解

全概率与贝叶斯更新

若 $B_i$ 互斥且并为全集，$P(B_i)>0$，则 $P(A)=\sum _{i}P(B_i)P(A\mid B_i)$。当 $P(A)>0$，$P(B_j\mid A)=\frac{P(B_j)P(A\mid B_j)}{\sum _{i}P(B_i)P(A\mid B_i)}$。本节为高中概率拓展。

理解与示例 · 练习与讲解

期望、方差与收益模型

以下均假设所用期望、方差存在且有限。$E(aX+b)=aE(X)+b$；$D(aX+b)=a^{2}D(X)$。$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$；独立时 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$。$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$。

理解与示例 · 练习与讲解

正态分布与标准化

若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，$\sigma >0$，则 $Z=(X-\mu )/\sigma \sim N(0,1)$。密度 $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-(x-\mu {)}^2/(2{\sigma }^2)}$。$P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 0.6827$，两倍标准差内约 $0.9545$。

理解与示例 · 练习与讲解

统计推断、抽样偏差与结论边界

样本比例 $\hat{p}=m/n$。在独立同分布伯努利抽样模型下，$E(\hat{p})=p$，$D(\hat{p})=p(1-p)/n$。这里 $p$ 是未知总体比例；公式的模型假设不适用于任意方便样本。 $2\times 2$ 列联表四格频数按行为 $(a,b),(c,d)$，$n=a+b+c+d$，则 ${\chi }^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$。各边际总数须正，独立假设下期望频数为行总数乘列总数除以 $n$；这里采用各格期望频数至少 $5$ 的常用近似检查。

理解与示例 · 练习与讲解

数学归纳法、反证与反例

归纳结构：验证 $P(n_0)$；证明对任意 $k\ge n_0$，$P(k)\Rightarrow P(k+1)$；于是所有整数 $n\ge n_0$ 成立。反证法依赖逻辑矛盾，数值试算不能代替一般证明。

理解与示例 · 练习与讲解

空间几何中的截面与距离

点 $(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离为 $\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$，法向量非零。棱锥等体积换底：$S_1{h}_1=S_2{h}_2$。

理解与示例 · 练习与讲解

优化建模与结果解释

若利润 $P(x)=R(x)-C(x)$，先限定可行集 $D$，再求 $\underset{x\in D}{max}P(x)$。闭区间连续模型比较端点与临界点；整数变量比较邻近可行整数，必要时核对全部候选。

理解与示例 · 练习与讲解

分段函数、边界与综合数值检验

若 $f(x)=g(x)(x<c)$，$f(x)=h(x)(x\ge c)$，在 $c$ 连续要求 $\underset{x\to c^{-}}{lim}g(x)=h(c)=\underset{x\to c^{+}}{lim}h(x)$。解 $f(x)=a$ 时各段求根后与该段定义域求交。

理解与示例 · 练习与讲解