小学五年级数学：知识讲解 · 小数乘法与积的小数位至长方体、正方体与表面积
按六三三学段编排的通用建议学习顺序；不同地区、教材和学期安排存在差异。本版覆盖以下明确列出的知识点，不将其等同于所有教材或完整课程标准。
小学五年级数学：知识讲解
按六三三学段编排的通用建议学习顺序；不同地区、教材和学期安排存在差异。本版覆盖以下明确列出的知识点，不将其等同于所有教材或完整课程标准。
重点是分数体系、小数运算、方程和空间度量；不同教材可能把部分内容安排在相邻学期，可按先修知识调整顺序。
本年级共有 20 个知识点，配套 40 道练习；每个编号均可在公式与习题页找到对应内容。建议先读定义，自己解释例子，再独立练习，最后展开答案核对。
小数乘法与积的小数位
定义与条件： 小数乘法先按整数相乘，再根据因数一共的小数位数确定积的小数点位置。这来自两个因数放大后的积也按倍数放大。
方法： 先估计积的范围，再计算；积的位数不够时在前面补 0。末尾 0 可在确定小数点后按需要去掉。
例子： 0.24×1.5：24×15＝360，两因数共有 3 位小数，所以积为 0.360＝0.36。
易错： 乘以小于 1 的正数会使正数变小，不能总认为“乘法越乘越大”。
小数除法、循环小数与取近似值
定义与条件： 小数除法先把除数变成整数，同时让被除数扩大相同倍数；有限小数相除，商可能是有限小数；若除不尽，则是循环小数。
方法： 小数点同步移动，再按整数除法；需要保留若干位时多算一位做舍入，实际装箱等问题再结合情境取整。
例子： 7.56÷1.2＝75.6÷12＝6.3；1÷3＝0.333…是循环小数，保留两位小数约为 0.33。
易错： 不能只移动除数的小数点；近似值必须说明保留位数。
因数、倍数与成对寻找
定义与条件： 在正整数范围内，如果 a 能被 b 整除，b 是 a 的因数，a 是 b 的倍数。一个正整数的因数有限，倍数无限。
方法： 从 1 开始成对寻找因数，较小因数超过较大因数时停止；列倍数用原数依次乘 1、2、3 等。
例子： 18 的正因数为 1、2、3、6、9、18；可以按 1×18、2×9、3×6 成对找到。
易错： “倍数”与“倍”情境相关但本节约定正整数；0 与负数不进入本页的正因数列表。
2、3、5 的整除特征与奇偶
定义与条件： 整数个位为 0、2、4、6、8 时能被 2 整除；个位是 0 或 5 时能被 5 整除；各位数字和能被 3 整除时，原数能被 3 整除。
方法： 将不同条件分别检查，再找交集；能被 2 整除的整数是偶数，不能的是奇数。
例子： 735 的各位和为 15，因此能被 3 整除；个位为 5，能被 5 整除，却不是偶数。
易错： 判断能否被 3 整除看数字和，不是只看个位。
质数、合数与分解质因数
定义与条件： 大于 1 的正整数中，只有 1 和本身两个正因数的是质数，有两个以上正因数的是合数；1 既不是质数也不是合数。
方法： 判断小整数是否为质数可依次试除；分解质因数时把合数逐步拆成质数乘积，最终所有因数都必须是质数。
例子： 60＝2×30＝2×2×15＝2²×3×5；2 是唯一的偶质数。
易错： “奇数都是质数”错误，9、15 都是奇合数；1 不能当作质因数。
最大公因数与最小公倍数
定义与条件： 两个数共有的因数叫公因数，其中最大者是最大公因数；共有的正倍数中最小者是最小公倍数。
方法： 可列举，也可分解质因数：最大公因数取共有质因数的较小指数，最小公倍数取所有质因数的较大指数。
例子： 12＝2²×3，18＝2×3²，所以最大公因数为 6，最小公倍数为 36。
易错： 把“分成尽量大的同样份”与“下一次同时发生”区分：前者常用公因数，后者常用公倍数。
分数与除法、真分数和带分数
定义与条件： 分数表示除法结果；真分数的分子小于分母，假分数的分子大于或等于分母。带分数由整数与真分数相加构成。
方法： 假分数化带分数时做带余除法；带分数化假分数时，整数乘分母再加分子。
例子：
易错： 带分数中的整数与分数是相加，不是相乘。
分数基本性质、约分、通分与比较
定义与条件： 分子和分母同时乘或除以同一个非零数，分数大小不变。约分把分子分母公因数消去；通分把分数改写为同分母形式。
方法： 约分优先除以最大公因数；比较异分母分数先通分，也可比较与 1/2 或 1 的距离。 分数化小数用分子除以分母；有限小数化分数，先写成分母为 10、100、1000 等的分数，再约分。
例子：
易错： 分子分母同时加上相同数，一般不能保持分数大小。
图中相同整体的二分之一、四分之二、八分之四涂色等长，说明分子分母同时扩大相同倍数后分数值不变。
异分母分数加减与整数相减
定义与条件： 不同分母表示不同大小的分数单位，必须先统一单位，再进行分子相加减。结果一般化成最简分数。
方法： 找最小公分母，通分后计算；出现整数时可把整数写成同分母分数，或借出 1 化为若干分数单位。
例子：
易错： 分母不能直接相加减；通分时分子必须乘相同倍数。
用字母表示数与解方程
定义与条件： 含未知数的等式叫方程。字母既可表示未知量，也可表达一般数量关系；等式两边同时进行同样的合法运算，等式仍成立。
方法： 设未知数并写单位，根据数量关系列等式；逐步消去已知运算，最后代回原式验证。除以未知数前要排除为零的情况。
例子： 3x＋5＝26，两边减 5 得 3x＝21，再两边除以 3 得 x＝7。
易错： 含字母的式子未必是方程，如 3x＋5 没有等号。
列方程解决和差、倍数问题
定义与条件： 列方程把未知量放进数量关系，通过等式求解，尤其适合总量已知且各部分互相关联的问题。
方法： 选一份量为未知数；把其他数量都用它表示；验证每部分与总量是否一致。
例子： 两数和为 48，大数是小数的 3 倍，设小数 x，则 x＋3x＝48，得 x＝12，大数 36。
易错： “是 3 倍”和“多 3 倍”不同，后者通常表示本身加上 3 倍，即 4 倍。
平行四边形与三角形面积
定义与条件： 平行四边形可通过割补转成长方形，面积等于底乘对应高；两个全等三角形可拼成平行四边形，因此三角形面积是底乘高的一半。
方法： 选择一条底，找它对应的垂直高；若要反求底或高，先把三角形面积乘 2。
例子： 底 10 厘米、高 6 厘米的三角形面积为 10×6÷2＝30 平方厘米，同底同高平行四边形面积为 60 平方厘米。
易错： 斜边不能代替高；三角形公式中的除以 2 不能漏。
图中长方形面积为 4×3＝12，三角形面积为 4×3÷2＝6，单位均为相应平方单位。高须与所选底垂直。
梯形面积与组合图形
定义与条件： 梯形可由两个全等图形拼成底为两底之和的平行四边形，面积等于上底与下底之和乘高的一半。组合图形可分割求和或补全求差。
方法： 只选互不重叠的分块；明确公共边和未知长度；所有长度统一后再算。
例子： 上底 4、下底 10、高 5 厘米的梯形面积为 (4＋10)×5÷2＝35 平方厘米。
易错： 组合面积不能把重叠部分重复加；不是把图上所有边长相乘。
长方体、正方体与表面积
定义与条件： 长方体有 6 个面、12 条棱、8 个顶点，相对面大小相等；表面积为全部外表面的面积和。正方体各棱相等。
方法： 按前后、左右、上下三对面计算；开口容器须去掉不实际存在的面，涂刷题应扣除不涂部分。
例子： 长 5、宽 3、高 2 厘米的封闭长方体表面积为 2×(15＋10＋6)＝62 平方厘米。
易错： 表面积不等于体积；无盖盒只有 5 个面，不能直接照搬封闭体公式。
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