大学第3阶段数学习题集 · 命题逻辑与证明方法至一阶线性微分方程

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知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 22 个知识点；配套 44 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

大学第3阶段数学习题集

知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 22 个知识点；配套 44 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

先独立列出条件和解题步骤，再展开答案。基础计算题用于检查概念，辨析与证明题用于检查条件；每题解答均默认关闭。两题覆盖的是本版入门目标，不能代替整门课程的题量。

知识点 → 题号对照

编号	知识点	题号
u3-01	命题逻辑与证明方法	1、2
u3-02	集合、关系与等价分类	3、4
u3-03	组合计数与容斥原理	5、6
u3-04	递推关系与生成函数	7、8
u3-05	图、度数与连通性	9、10
u3-06	树、生成树与树结构	11、12
u3-07	Euler 路径与 Hamilton 回路	13、14
u3-08	最短路径与最小生成树	15、16
u3-09	可分离变量微分方程	17、18
u3-10	一阶线性微分方程	19、20
u3-11	二阶线性方程与振动	21、22
u3-12	微分方程组与平衡稳定性	23、24
u3-13	数值误差、条件数与稳定性	25、26
u3-14	非线性求根：二分与 Newton 法	27、28
u3-15	插值与逼近	29、30
u3-16	数值积分与误差阶	31、32
u3-17	微分方程的数值解	33、34
u3-18	线性规划与可行域	35、36
u3-19	对偶、弱对偶与互补松弛	37、38
u3-20	凸优化与梯度下降	39、40
u3-21	网络流与割	41、42
u3-22	整数规划与动态规划	43、44

命题逻辑与证明方法

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题 1

用逆否命题证明：整数 $n$ 若 $n^2$ 为偶数，则 $n$ 为偶数。

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证明逆否命题：若 $n$ 为奇数，可写 $n=2k+1$，则 $n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ 为奇数。因此原命题成立。易错：只证明偶数的平方为偶数是在证明原命题的逆命题。

题 2

用归纳法证明 $1+2+\cdots +n=n(n+1)/2$。

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$n=1$ 时等式成立。假设到 $n$ 成立，则加上 $n+1$ 后为 $n(n+1)/2+(n+1)=(n+1)(n+2)/2$，正是下一步公式。故对全部正整数成立。易错：验证若干实例不能替代归纳步骤。

集合、关系与等价分类

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题 3

在整数中按模 3 同余分类，写出等价类并判断 5 与 -1 是否等价。

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三类为 $3\mathbb{Z}$、$3\mathbb{Z}+1$、$3\mathbb{Z}+2$。$5-(-1)=6$ 被 $3$ 整除，故二者属于同一类。易错：负数也可以归入标准余数类。

题 4

判断 $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},f(n)=2n$ 的单射、满射性质。

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若 $2n=2m$ 则 $n=m$，所以单射。奇整数没有原像，因此不是满射。若把陪域改为偶整数集合则成为双射。易错：满射性质取决于指定陪域。

组合计数与容斥原理

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题 5

在 1 到 100 的整数中，有多少数能被 2 或 3 整除？

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能被 $2$ 整除有 $50$ 个，被 $3$ 整除有 $33$ 个，同时被二者整除即被 $6$ 整除有 $16$ 个，故共 $50+33-16=67$ 个。易错：两个条件相交的数必须扣除一次。

题 6

证明任意 13 个人中至少有 2 人出生月份相同（只计月份）。

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把 $13$ 人放入对应出生月份的 $12$ 个类别，抽屉原理给出至少一类含 $\lceil 13/12\rceil =2$ 人。易错：这里只保证月份相同，不保证日期或年份相同。

递推关系与生成函数

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题 7

解递推 $a_n=2a_{n-1}+1$、$a_0=0$。

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令 $b_n=a_n+1$，则 $b_n=2b_{n-1}$、$b_0=1$，所以 $b_n=2^n$，从而 $a_n=2^n-1$。代回递推与初始条件均成立。易错：解非齐次递推时不能漏掉常数项影响。

题 8

求生成函数 $1/(1-z{)}^2$ 中 $z^n$ 的系数。

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将两个几何级数相乘，$z^n$ 系数等于满足 $i+j=n$ 的非负整数对数，共 $n+1$ 对，所以系数为 $n+1$。易错：从 $0$ 开始计数会包含两个端点对。

图、度数与连通性

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题 9

一个无向图的顶点度数为 $3,3,2,2,2$，它有多少条边？

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度数和为 $12$，每条边计入两个端点，所以边数为 $12/2=6$。易错：度数列是否可由简单图实现另需判断；此题已假定图存在。

题 10

路径图 $1-2-3$ 中，从 1 到 1 的长度为 2 的游走有几条？它是简单路径吗？

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只有 $1\to 2\to 1$ 一条。它重复顶点 $1$，因此是游走而不是不重复顶点的简单路径。易错：邻接矩阵幂统计的是游走，不能一般解释为简单路径数。

树、生成树与树结构

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题 11

连通无向图有 8 个顶点、7 条边，能否有环？

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不能。连通的 $n$ 顶点图至少需 $n-1$ 条边；若有环，删去环上一边仍连通，就得到只有 $6$ 条边的连通 8 顶点图，矛盾。所以它是树。易错：只知道边数 $n-1$ 而不知道连通，不能推出树。

题 12

完全图 $K_4$ 有多少棵标号生成树，每棵含多少条边？

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由 Cayley 公式，数量为 $4^{4-2}=16$。每棵保留四个顶点且为树，故有 $4-1=3$ 条边。易错：不同标签的树分别计数，不能仅按外观形状去重。

Euler 路径与 Hamilton 回路

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题 13

路径图 $A-B-C-D$ 是否有 Euler 通路和 Euler 回路？

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图连通，端点 $A,D$ 度数为 $1$，中间点度数为 $2$，恰有两个奇度点，因此有从 $A$ 到 $D$ 的 Euler 通路，但无 Euler 回路。易错：开放通路无需回到起点。

题 14

完全图 $K_4$ 是否有 Hamilton 回路？是否有 Euler 回路？

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$A\to B\to C\to D\to A$ 是 Hamilton 回路。每个顶点度数为 $3$，四个顶点均奇度，所以无 Euler 回路，甚至无覆盖全部边的 Euler 通路。易错：能访问全部顶点并不代表能恰好走过全部边。

最短路径与最小生成树

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题 15

无向三角形边权 $AB=2,BC=1,AC=5$，求 $A$ 到 $C$ 的最短距离。

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直达代价 $5$，经 $B$ 代价 $2+1=3$，所以最短距离为 $3$，路径为 $A-B-C$。所有边非负，可用 Dijkstra。易错：最少边数的路径未必是最小权重路径。

题 16

同一三角形的最小生成树包含哪些边，总权重是多少？

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按权重选择 $BC=1$、$AB=2$，两边连接所有顶点且不成环，总权重为 $3$。第三边会成环，无须加入。易错：生成树目标是连接所有顶点，不是选择一个起点到所有点的最短路径之和。

可分离变量微分方程

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题 17

解初值问题 $y^{\prime }=2y,y(0)=3$。

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非零解满足 $\mathrm{d}y/y=2\mathrm{d}x$，积分得 $\ln |y|=2x+C$，即 $y=C{e}^{2x}$。初值得 $C=3$，故 $y=3e^{2x}$。易错：积分常数经过指数运算后需重新表示。

题 18

解 $y^{\prime }=y(1-y)$ 中所有常数解，并说明分离变量的遗漏风险。

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常数解导数为零，因此需 $y(1-y)=0$，得 $y\equiv 0$ 和 $y\equiv 1$。若直接除以 $y(1-y)$ 就会排除这两解，所以必须先单独列出。易错：除以可能为零的表达式会丢解。

一阶线性微分方程

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题 19

解 $y^{\prime }+y=2,y(0)=0$。

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积分因子为 $e^x$，故 $(e^{x}y{)}^{\prime }=2e^x$。积分得 $y=2+C{e}^{-x}$，初值给 $C=-2$，所以 $y=2-2e^{-x}$。易错：常数外力产生非零稳态，不能只写齐次解。

题 20

在 $x>0$ 解 $y^{\prime }+y/x=x,y(1)=2$。

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积分因子为 $x$，得到 $(xy{)}^{\prime }=x^2$，故 $xy=x^3/3+C$，即 $y=x^2/3+C/x$。初值得 $C=5/3$。易错：系数在 $x=0$ 奇异，本解的初值区间限定在正半轴。