程序员数学 11：文件处理任务的数学复盘

一个数学公式只有在对象、单位与前提都明确时才有用。本课将前面各篇放进一个虚构文件处理任务。所有数字都是题目设定，可以手算，不需要数据库或在线服务。

一、校验、配对与分桶

处理文件前要求“格式有效且校验和匹配”。要比较 200 个文件的每一对，忽略顺序且不允许自配对。临时目录使用长度为 8 的环形编号。

1. 写出拒绝处理的布尔条件。
2. 两两比较一共多少次？如果文件数变成 2000 呢？
3. 当前编号为 1，向后退 4 格后，合法的非负编号是多少？

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1. !validFormat || !checksumMatches，由德摩根律得到。它只表达这两个必要条件，不表示通过后所有 I/O 都必然成功。
2. $200\times 199/2=19,900$；$2000\times 1999/2=1,999,000$。数量扩大 10 倍，比较次数约扩大 100 倍。
3. $1-4=-3$，模 8 的非负代表元为 5。JavaScript 直接 -3 % 8 为 -3，需要按约定归一化。

二、依赖与有限重试

任务依赖为“读取→校验→压缩→发布”，另有“校验→生成清单→发布”。一次上传最多尝试三次，每次失败概率 0.2，暂时假设各次独立且失败概率不变。

4. 给出一个合法执行顺序，指出哪两个任务可以没有先后依赖。
5. 计算最终失败概率与期望尝试次数。
6. 如果三次尝试都受同一个持续故障支配，第 5 题还能直接使用吗？

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4. “读取、校验、压缩、生成清单、发布”合法；压缩和生成清单可以交换，也允许在资源与其他约束满足时并行。
5. ${0.2}^3=0.008$，即 0.8%；期望为 $1+0.2+{0.2}^2=1.24$ 次。
6. 不能。独立性可能失效，应重新建模联合事件或使用实测结果。公式计算正确不代表前提适合真实系统。

三、耗时统计与汇总

20 次处理耗时中，18 次为 10 ms，一次 100 ms，一次 1000 ms。采用最近秩分位数定义。另一份报表记录 A 组成功 90/100，B 组成功 1/10。

7. 计算平均耗时、P95 和 P99。
8. 计算整体成功率，并说明为什么不是两个百分比的简单平均。
9. 只报告“平均耗时 64 ms”会漏掉什么？

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7. 平均为 $(180+100+1000)/20=64$ ms；P95 取第 19 个值，为 100 ms；P99 取第 20 个值，为 1000 ms。
8. $91/110\approx 82.73\mathrm{\%}$。整体口径是每次尝试同等权重，两个组的分母不同。
9. 会漏掉长尾及样本量。还要说明只有 20 条样本、分位数算法和观测条件，不能把这些样本直接等同于长期总体表现。

四、坐标、优化与数值表示

可视化中把点 $(2,1)$ 变换为 $(2x+y,y)$。批量成本模型为 $C(b)=400/b+b$，允许整数 $1\le b\le 12$。运行预算为 0.6 秒，观测耗时为 500 毫秒。

10. 变换后的点是什么？
11. 成本模型的无约束最小点和约束下最优批量分别是多少？
12. 是否超出运行预算？能否用 0.1 + 0.2 === 0.3 检验十进制金额相等？

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10. $(2\times 2+1,1)=(5,1)$。
11. $C^{\prime }(b)=1-400/b^2$，正数域驻点为 20；$C^{″}(b)>0$。受上限 12 约束时，函数在允许范围内递减，因此选 12。还需验证真实成本是否符合模型。
12. 没超出，0.6 秒等于 600 毫秒。不能把该浮点等式用作精确十进制金额判断；应按最小单位、舍入规则与取值范围选择精确表示。

怎样写一份数学分析结论

保留四项即可：问题和单位、使用的模型、计算结果、模型没覆盖的条件。例如：“在三次尝试独立且单次失败率固定为 0.2 的模型下，最终失败概率为 0.8%；持续共享故障可能破坏独立性，此数值不是线上可用性保证。”

如果算对了却无法写出前提，应回到对应文章继续练。完整路线与课程资料见程序员数学学习路线。