运筹学基础（02375） · 运筹学基础至第三章：不确定与风险决策

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本页保留旧课程笔记与旧链接，修复公式并补充适用条件。系统课程与习题见大三数学。

按问题定位：预测/回归 · 最小最大遗憾 · 经济订货量 EOQ · 线性规划 · 运输与网络计划 · 最短路/流 · 平稳分布 · 盈亏平衡/排队。

运筹学基础（02375）

本页保留旧课程笔记与旧链接，修复公式并补充适用条件。系统课程与习题见大三数学。

按问题定位：预测/回归 · 最小最大遗憾 · 经济订货量 EOQ · 线性规划 · 运输与网络计划 · 最短路/流 · 平稳分布 · 盈亏平衡/排队。

运筹学基础

• 公式概念

  • 求和
    • 公式：${\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}$；$\sum$ 是求和符号，表达式还需保留求和项及范围，不能只写一个符号代替整个和。
    • 例子：${\displaystyle \sum _{i=1}^{5}i=1+2+3+4+5=15}$

第一章：运筹学与管理决策

• 定性决策：基本上根据决策人员的主观经验或感受到的感觉或知识而制定的决策
• 定量决策：借助于某些正规的计量方法而做出的决策
• 混合性决策：必须运用定性和定量两种方法才能制定的决策
• 运筹学与管理决策：对于管理领域，运筹学也是对管理决策工作进行决策的计量方法
• 运筹学
  • 运筹学是一门研究如何有效地组织和管理人机系统的科学
  • 运筹学利用计划方法和有关多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据

第二章：预测与回归

预测与回归概念

• 预测

  • 含义：预测就是对未来的不确定的事件进行估计或判断
  • 预测是决策的基础，企业预测的目的就是为企业决策提供适当的数据或资料

• 预测方法的分类

  • 经济预测：分为宏观经济预测（国民经济范围）和微观经济预测（单个实体经济、市场分析等）
    • 3-5 年是长期
    • 1-3 年是中期
    • 年内是短期
    • PS：如市场需求、市场占有率等
  • 科技预测：分为科学预测和技术预测
    • 30-50 年以上是长期
    • 10-30 年是中期
    • 5-10 是短期
    • PS：如新技术发明可能应用的领域、范围和速度、新工艺等
  • 社会预测：如人口增长预测、社会购买心理的预测等
  • 军事预测：研究与战争、军事有关的问题

• 专家群

  在社会环境和经济环境越来越复杂的情况下，管理者进行决策时， 为了掌握社会环境和经济环境的各方面的变化和预测资料； 需要听取专家或熟悉情况者的意见 并希望在"专家群"中取得比较一致的意见而采取的定性预测方法

• 特尔斐法和专家小组法的区别

  • 特尔斐 -> 专家群、背对背，适用于长期或中期预测
  • 专家小组 -> 面对面，过程紧凑，适用于短期预测

预测与回归公式

本节平均/滑动平均中的 n 是正整数；加权平均要求权重非负且和大于0。回归斜率要求自变量不全相同，决定系数要求因变量总平方和非零；R²不保留相关的正负方向。

• 简单滑动平均预测法

  • 横向比较法

    $${\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}}$$$${\displaystyle \bar{x}=\frac{1.5+1.2+0.9+0.7+0.5}{5}=0.96}$$

  • 纵向比较法

    $${\hat{x}}_{t+1}=\frac{x_t+x_{t-1}+x_{t-2}+...+x_{t-(n-1)}}{n}$$

• 加权平均数预测法

  • 横向比较法

    $${\bar{x}}_w=\frac{x_1{w}_1+x_2{w}_2+...+x_n{w}_n}{w_1+w_2+...+w_n}=\frac{\sum x_i{w}_i}{\sum w_i}$$

  • 纵向比较法

    $$F_{i+1}=\frac{x_i{w}_i+x_{i-1}{w}_{i-1}+x_{i-2}{w}_{i-2}+...+x_{i-(n-1)}{w}_{i-(n-1)}}{w_i+w_{i-1}+w_{i-2}+...+w_{i-(n-1)}}=\frac{\sum x_i{w}_i}{\sum w_i}$$

• 回归模型预测法

  • 回归方程：$ y=a+bx $

    $$b=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{n\sum x^2-(\sum x{)}^2}$$$$a=\frac{\sum y-b\sum x}{n}$$

  • 决定系数（含截距的一元最小二乘回归）:

    $$R^2=\frac{\sum _i({\hat{y}}_i-\overline{y}{)}^2}{\sum _i(y_i-\overline{y}{)}^2}$$

  • 回归偏差平方和

    $$SSR=\sum _i({\hat{y}}_i-\overline{y}{)}^2$$

第三章：不确定与风险决策

不确定与风险决策概念

• 决策的分类

  • 按决策方法不同而分类：常规性和特殊性决策
  • 按计划与控制的关系分类：计划性和控制性决策

• 三种决策类型的区别

  • 一种自然状态、概率已知——确定条件下的决策
  • 一个以上自然状态、概率未知——不确定条件下的决策
  • 一个以上自然状态、概率已知——风险条件下的决策

• 在不同环境下的决策

  • 确定条件下的决策
    • 只有一种自然状态
  • 不确定条件下的决策
    • 最大最大决策标准
    • 最大最小决策标准
    • 最小最大遗憾值决策标准
    • 现实主义决策标准
  • 风险条件下的决策
    • 最大期望收益值标准
    • 最小期望损失值标准

• 决策树的结构

决策准则与收益例题

• 最大最大收益准则：对每个方案先在所有自然状态中取最大收益，再比较方案，不能只固定在同一个 ${\theta }_1$ 上。

  $$V_{\text{乐观}}=\underset{i}{max}\underset{j}{max}f(A_i,{\theta }_j).$$

  若三个方案各自的最大收益为200000、160000、120000，则选择第一个，收益指标为200000。

• 最大最小收益准则：$V_{\text{保守}}=\underset{i}{max}\underset{j}{min}f(A_i,{\theta }_j)$。先找各方案最坏收益，再取其中最大者；收益与成本的优劣方向不同，不能简单写成“min反之”。

• 最小最大遗憾准则：收益表中 $r_{ij}=\underset{k}{max}f(A_k,{\theta }_j)-f(A_i,{\theta }_j)$，选择使 $\underset{j}{max}{r}_{ij}$ 最小的方案。比较必须在同一个自然状态内进行。

例题与讲解：为什么两种准则会选不同方案

两方案在两状态下收益分别为 $A_1=(8,-2)$、$A_2=(5,4)$。乐观准则比较8与5，选 $A_1$；保守准则比较−2与4，选 $A_2$。各状态最高收益为8和4，遗憾分别为 $(0,6)$、$(3,0)$，最小最大遗憾比较6和3，也选 $A_2$。