高三数学独立习题集 · 基本不等式与柯西不等式至分段函数、边界与综合数值检验

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本页有 40 道题，每个知识点各两题。建议先独立作答、写出理由，再展开答案核对。

基本不等式与柯西不等式

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题 21

当 $x>0$ 时，求 $x+9/x$ 的最小值。

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答案： $6$，在 $x=3$ 取得。

思路与计算： 两项为正，和至少 $2\sqrt{9}=6$；等号要求 $x=9/x$，结合正值得 $x=3$。

易错提醒： 负数范围不能直接使用该形式的基本不等式。

题 22

若 $x^2+y^2=1$，求 $3x+4y$ 的最大值。

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答案： $5$，在 $(x,y)=(3/5,4/5)$ 取得。

思路与计算： 柯西给 $(3x+4y{)}^2\le 25$，故 $3x+4y\le 5$；取与 $(3,4)$ 同向的单位向量达到等号。

易错提醒： 平方上界给绝对值界，求最大值需选正方向。

限制条件下的排列组合

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题 23

$5$ 个不同的人排一列，指定甲乙必须相邻，共多少种？

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答案： $48$ 种。

思路与计算： 将甲乙视为一块，共 4 个对象可排 $4!$ 种，块内部有 2 种，得 $48$。

易错提醒： 捆绑后仍要计入甲乙内部顺序。

题 24

从 $4$ 男 $3$ 女中选 $3$ 人，至少一名女生，共多少种？

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答案： $31$ 种。

思路与计算： 全部 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3})=35$，全男 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})=4$，相减得 $31$。

易错提醒： “至少一名”包括两名、三名女生，补集法可避免漏类。

全概率与贝叶斯更新

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题 25

工厂甲供货 $60\mathrm{\%}$，次品率 $2\mathrm{\%}$；乙供货 $40\mathrm{\%}$，次品率 $5\mathrm{\%}$。随机取一件，次品概率是多少？

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答案： $3.2\mathrm{\%}$。

思路与计算： 按来源分解：$0.6\times 0.02+0.4\times 0.05=0.032$。

易错提醒： 两家次品率不能直接取普通平均。

题 26

在上一题条件下，已知抽到次品，来自乙的概率是多少？

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答案： $5/8$（$62.5\mathrm{\%}$）。

思路与计算： 乙且次品的概率为 $0.4\times 0.05=0.02$，除以总次品概率 $0.032$ 得 $0.625$。

易错提醒： 不能直接使用乙的供货比例 40% 或次品率 5%。

期望、方差与收益模型

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题 27

一次游戏支付 $3$ 元，以概率 $1/4$ 获得 $10$ 元奖金，否则为零。净收益期望是多少？

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答案： $-1/2$ 元。

思路与计算： 奖金期望 $10/4=2.5$ 元，减固定费用 3 元得 $-0.5$ 元。

易错提醒： 奖金与净收益不同，必须扣除成本。

题 28

已知 $E(X)=2,D(X)=3$，令 $Y=4X-1$，求 $E(Y),D(Y)$。

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答案： $E(Y)=7,D(Y)=48$。

思路与计算： 均值按线性变换得 $4\times 2-1$；方差乘 $4^2$，平移不影响方差。

易错提醒： 方差乘的是倍率平方，不是倍率本身。

正态分布与标准化

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题 29

$X\sim N(100,{15}^2)$，把事件 $85<X<115$ 标准化，并给常用近似概率。

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答案： $-1<Z<1$，概率约 $0.6827$。

思路与计算： 上下界分别减 100 再除以 15，得到 $-1,1$，属于均值左右一个标准差。

易错提醒： 分布记号第二个参数是方差 ${15}^2$，标准化除以 15。

题 30

对同一正态变量，求 $P(X>100)$ 与 $P(X=100)$。

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答案： $P(X>100)=1/2$，$P(X=100)=0$。

思路与计算： 关于均值对称，所以左右各一半；连续分布中单点面积为零。

易错提醒： 密度在均值最大不意味着单点概率最大且非零。

统计推断、抽样偏差与结论边界

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题 31

在同一独立抽样模型下，样本量从 $100$ 增为 $400$，样本比例标准差如何变化？

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答案： 减为原来的一半。

思路与计算： 标准差为 $\sqrt{p(1-p)/n}$，样本量乘 4，标准差除以 2。

易错提醒： 样本量增四倍不会让标准差缩为四分之一。

题 32

网络自愿投票有十万份样本，是否必然比随机抽取一千人的调查更能代表全体居民？ 另问：两组独立观测的“成功、失败”计数分别为 $(30,20),(20,30)$，按给定显著性水平 $0.05$、自由度 $1$ 的阈值 $3.841$ 判断是否拒绝独立假设（不作连续性校正）。

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答案： 不必然。 ${\chi }^2=4>3.841$，拒绝独立假设，认为数据提供关联证据。

思路与计算： 自愿参与造成选择偏差，未上网或不愿参与者可能系统不同；大样本可减少随机波动，却不能自动消除选择偏差。 行列总数均为 $50$，四格期望频数均为 $25$；统计量为 $100(900-400{)}^2/{50}^4=4$，满足近似频数条件且超过给定阈值。

易错提醒： 样本量与代表性应分别评价。 显著性水平不是“独立假设为真的概率”，拒绝独立也不自动建立因果关系。

数学归纳法、反证与反例

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题 33

用归纳法证明 $1+3+\cdots +(2n-1)=n^2$。

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答案： 对全部正整数成立。

思路与计算： $n=1$ 时成立；假设前 $k$ 项和为 $k^2$，加下一项 $2k+1$ 得 $k^2+2k+1=(k+1{)}^2$，完成递推。

易错提醒： 归纳步骤之外还必须验证起始值。

题 34

命题“所有素数都是奇数”是否正确？

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答案： 不正确，$2$ 是反例。

思路与计算： 2 只有 1 与 2 两个正因数，符合素数定义，但 2 是偶数。

易错提醒： 一个反例足够否定“所有”，无需逐一检查其他素数。

空间几何中的截面与距离

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题 35

求原点到平面 $x+2y+2z-6=0$ 的距离。

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答案： $2$。

思路与计算： 分子为 $|-6|=6$，法向量长度为 $\sqrt{1+4+4}=3$，距离为 2。

易错提醒： 分母需包括全部三个法向分量。

题 36

一个三棱锥以某面为底时面积 $6$、高 $4$；改以另一面为底，面积 $8$，对应高是多少？

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答案： $3$。

思路与计算： 同一个体积满足 $6\times 4/3=8h/3$，所以 $h=3$。

易错提醒： 换底时体积不变，但高必须是对新底面的垂直距离。

优化建模与结果解释

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题 37

某产品模型利润为 $P(x)=-x^2+12x-20$ 元，$0\le x\le 10$，求最大利润与对应 $x$。

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答案： 最大利润 $16$ 元，在 $x=6$ 取得。

思路与计算： 配方 $P=16-(x-6{)}^2$，顶点在可行区间，且 $x=6$ 也满足整数需求（若按件数解释）。

易错提醒： 顶点位置需要与可行范围核对。

题 38

围三面长方形菜地，第四面靠足够长的墙，围栏总长 $20$，求最大面积。

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答案： $50$，两条垂直墙的边各为 $5$，平行墙边为 $10$。

思路与计算： 设两条等长侧边为 $x$，另一边为 $20-2x$，$0<x<10$；面积 $S=20x-2x^2=50-2(x-5{)}^2$。

易错提醒： 围的是三边，不能使用四边周长关系。

分段函数、边界与综合数值检验

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题 39

$f(x)=x+1$（$x<1$），$f(x)=2x$（$x\ge 1$），求 $f(1)$，并判断在 $1$ 是否连续。

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答案： $f(1)=2$，在 $1$ 连续。

思路与计算： 端点属于第二段，值为 2；左极限 $1+1=2$、右极限 $2\times 1=2$，三者一致。

易错提醒： 函数值使用包含端点的那一段。

题 40

对同一分段函数，解 $f(x)=3$。

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答案： $x=3/2$。

思路与计算： 第一段给 $x=2$，但不满足 $x<1$，舍去；第二段给 $x=3/2\ge 1$，保留。

易错提醒： 每段算出的代数根都要回到该段区间检验。