大学第1阶段数学公式速查

知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 20 个知识点；配套 40 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

公式按知识讲解的编号排列。使用前先检查条件、单位、记号和方向；结论不满足条件时应回到定义或另选方法。

函数、数列与数学语言

复合函数 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ 要求 $x\in D_g$ 且 $g(x)\in D_f$。严格单调函数在其像集上有反函数。实数列若 $a_{n+1}\ge a_n$ 且存在 $M$ 使所有 $a_n\le M$，则 $lim{a}_n=sup\{a_n:n\ge 1\}$。

理解与条件 · 配套练习

极限与无穷小

若 $limf=A$、$limg=B\ne 0$，则 $limf/g=A/B$。当 $x\to 0$，$\sin x\sim x$、$\ln (1+x)\sim x$、$e^x-1\sim x$、$1-\cos x\sim x^2/2$；三角函数用弧度。夹逼定理要求同一邻域内 $g\le f\le h$ 且 $g,h$ 趋于同一极限。

理解与条件 · 配套练习

连续性与闭区间定理

在 $a$ 连续：$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$。若 $f\in C[a,b]$ 且 $f(a)f(b)<0$，则存在 $c\in (a,b)$ 使 $f(c)=0$。连续函数在紧区间 $[a,b]$ 上取得极值。

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导数定义与可微性

$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}[f(a+h)-f(a)]/h$（极限有限）。可微表示 $f(a+h)=f(a)+f^{\prime }(a)h+o(h)$，于是 $\mathrm{d}f=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$。切线为 $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$。

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求导法则与初等函数

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$；$(u/v{)}^{\prime }=(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })/v^2$（$v\ne 0$）；$(f\circ g{)}^{\prime }=f^{\prime }(g)g^{\prime }$。$(e^x{)}^{\prime }=e^x$，$(\ln x{)}^{\prime }=1/x$（$x>0$），$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$，$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$。一般实指数 $x^{\alpha }$ 在 $x>0$ 有导数 $\alpha x^{\alpha -1}$。

常用补充：$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$（$a>0$）；$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=1/(x\ln a)$（$a>0,a\ne 1,x>0$）；$(\tan x{)}^{\prime }=1/{\cos }^{2}x$（$\cos x\ne 0$）；$(\arcsin x{)}^{\prime }=1/\sqrt{1-x^2}$、$(\arccos x{)}^{\prime }=-1/\sqrt{1-x^2}$（$|x|<1$）；$(\arctan x{)}^{\prime }=1/(1+x^2)$。

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隐函数与参数方程求导

若 $F(a,b)=0$，$F_x,F_y$ 在 $(a,b)$ 邻域连续且 $F_y(a,b)\ne 0$，则过该点局部存在可微函数 $y(x)$，满足 $y^{\prime }=-F_x/F_y$。对二阶可导的参数曲线 $x=x(t),y=y(t)$，当 $x^{\prime }(t)\ne 0$ 时 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x=y^{\prime }(t)/x^{\prime }(t)$，${\mathrm{d}}^{2}y/\mathrm{d}{x}^2=[\mathrm{d}(y^{\prime }/x^{\prime })/\mathrm{d}t]/x^{\prime }$。

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中值定理与误差界

若 $f\in C[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 可导，则存在 $c\in (a,b)$ 使 $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$。若再有 $f(a)=f(b)$，则 $f^{\prime }(c)=0$。若区间内 $|f^{\prime }|\le M$，则 $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$。

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单调、极值与凹凸

区间内 $f^{\prime }>0$ 则严格递增，$f^{\prime }<0$ 则严格递减。若 $f^{\prime }(c)=0$ 且 $f^{″}(c)>0$，则 $c$ 为严格局部极小点；若 $f^{″}(c)<0$，为严格局部极大点。$f^{″}(c)=0$ 时二阶判别失效。

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洛必达法则与未定式

在穿孔邻域内 $f,g$ 可导、$g^{\prime }\ne 0$，且 $f,g\to 0$，或 $|f|,|g|\to \mathrm{\infty }$；若 $lim{f}^{\prime }/g^{\prime }=L$ 存在（可为无穷），则 $limf/g=L$。单侧及无穷远版本需在相应区间满足条件。

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Taylor 展开与余项

若 $f$ 在 $a$ 与 $x$ 之间有连续的前 $n+1$ 阶导数，则

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}.$$

$\xi$ 位于两点之间。若该区间 $|f^{(n+1)}|\le M$，余项绝对值不超过 $M|x-a{|}^{n+1}/(n+1)!$。

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原函数与不定积分

$\int x^{\alpha }\mathrm{d}x=x^{\alpha +1}/(\alpha +1)+C$（$\alpha \ne -1$，一般实指数取 $x>0$）；$\int \mathrm{d}x/x=\ln |x|+C$（在不穿过零的区间）；$\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$；$\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C$；$\int \mathrm{d}x/(1+x^2)=\arctan x+C$；$\int \mathrm{d}x/\sqrt{1-x^2}=\arcsin x+C$（$|x|<1$）。

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换元与分部积分

$\int f(g(x))g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=F(g(x))+C$，其中 $F^{\prime }=f$。$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$。若 $g\in C^1[a,b]$ 且 $f$ 在其像上连续，则 ${\int }_a^{b}f(g(x))g^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\int }_{g(a)}^{g(b)}f(u)\mathrm{d}u$。

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定积分与微积分基本定理

若 $f\in C[a,b]$，则 $G(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 满足 $G^{\prime }(x)=f(x)$；若 $F^{\prime }=f$，则 ${\int }_a^{b}f=F(b)-F(a)$。若可导 $u,v$ 的值落在 $f$ 的连续区间内，则有 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)\mathrm{d}t=f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x)$。

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积分的几何与物理应用

若 $f\ge g$，则区域面积 $A={\int }_a^b(f-g)\mathrm{d}x$。绕横轴旋转且 $R\ge r\ge 0$ 时 $V=\pi {\int }_a^b(R^2-r^2)\mathrm{d}x$。光滑图像弧长 $L={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\mathrm{d}x$。路程 $s={\int }_{t_0}^{t_1}|v(t)|\mathrm{d}t$。

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反常积分与收敛判别

${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{R}f$。${\int }_1^{\mathrm{\infty }}{x}^{-p}\mathrm{d}x$ 当且仅当 $p>1$ 收敛；${\int }_0^1{x}^{-p}\mathrm{d}x$ 当且仅当 $p<1$ 收敛。比较尾部时，先要求 $f,g$ 在每个有限截断区间可积；若对充分大的 $x$ 有 $0\le f(x)\le g(x)$ 且 ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}g$ 收敛，则 ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f$ 收敛。有限端点或内部的奇点须另外逐一检查。

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矩阵运算与线性表示

对 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$、$B\in {\mathbb{R}}^{n\times p}$，$(AB{)}_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$，结果为 $m\times p$。$(AB{)}^T=B^T{A}^T$。线性映射满足 $A(\alpha x+\beta y)=\alpha Ax+\beta Ay$。

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行列式与可逆性判据

$det\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$；$det(AB)=detAdetB$；三角矩阵行列式为对角元素之积。$n$ 阶矩阵可逆当且仅当 $detA\ne 0$。$det(cA)=c^{n}detA$。

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逆矩阵与线性方程组

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$；$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$（二者均可逆）。若 $ad-bc\ne 0$，则 ${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$。可逆系统解为 $x=A^{-1}b$。

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消元、秩与解的结构

$Ax=b$ 有解当且仅当 $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}[A\mid b]$。若有 $n$ 个未知数且公共秩为 $r$，则 $r=n$ 时唯一解，$r<n$ 时有 $n-r$ 个自由变量。齐次系统零空间维数为 $n-r$。

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向量空间、基与维数

$\mathrm{span}(v_1,\dots ,v_k)=\{\sum _i{c}_i{v}_i\}$。线性无关定义为 $\sum _i{c}_i{v}_i=0\Rightarrow c_1=\cdots =c_k=0$。若 $B=(v_1,\dots ,v_n)$ 为基，则每个 $v$ 唯一表示为 $v=\sum _i{c}_i{v}_i$，坐标为 $[v{]}_B=(c_1,\dots ,c_n{)}^T$。

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