大学第3阶段数学公式速查

知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 22 个知识点；配套 44 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

公式按知识讲解的编号排列。使用前先检查条件、单位、记号和方向；结论不满足条件时应回到定义或另选方法。

命题逻辑与证明方法

$P\Rightarrow Q$ 等价于 $\mathrm{\neg }Q\Rightarrow \mathrm{\neg }P$。$\mathrm{\neg }(\mathrm{\forall }x,P(x))$ 等价于 $\mathrm{\exists }x,\mathrm{\neg }P(x)$；$\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }x,P(x))$ 等价于 $\mathrm{\forall }x,\mathrm{\neg }P(x)$。归纳法：证明 $P(1)$ 与对所有 $n\ge 1$ 的 $P(n)\Rightarrow P(n+1)$。

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集合、关系与等价分类

同余 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ 定义为 $m\mid (a-b)$（整数 $m\ge 1$），是等价关系。单射：$f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$；满射：对陪域每个 $y$ 存在原像；双射同时满足二者。有限集合上的等价类构成划分。

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组合计数与容斥原理

$P(n,k)=n!/(n-k)!$，$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=n!/[k!(n-k)!]$。$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$。把 $N$ 个对象放入 $m$ 个盒子，至少一盒含 $\lceil N/m\rceil$ 个对象。

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递推关系与生成函数

若 $a_n=r{a}_{n-1}$ 且 $a_0=c$，则 $a_n=c{r}^n$。生成函数 $A(z)=\sum _{n\ge 0}{a}_n{z}^n$；常数序列 $1$ 的生成函数为 $1/(1-z)$，序列 $n$ 为 $z/(1-z{)}^2$（形式恒等，数值解释取 $|z|<1$）。

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图、度数与连通性

无向图握手定理：$\sum _{v\in V}\mathrm{deg}v=2|E|$，所以奇度顶点个数为偶数。简单无向图邻接矩阵 $A$ 对称，$A_{ij}=1$ 表示有边。$(A^k{)}_{ij}$ 是从 $i$ 到 $j$ 长为 $k$ 的游走数（允许重复顶点）。

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树、生成树与树结构

$n$ 个顶点的有限树有 $n-1$ 条边。对有限简单无向图，连通且有 $n-1$ 条边等价于树。完全图 $K_n$（$n\ge 2$）的标号生成树数为 $n^{n-2}$（Cayley 公式）。

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Euler 路径与 Hamilton 回路

有限无向图的非孤立部分连通时：所有度数为偶数则有 Euler 回路；恰有两个奇度顶点则有从一个奇点到另一个奇点的 Euler 通路。$n\ge 3$ 的简单图若最小度数至少 $n/2$，则有 Hamilton 回路（Dirac 充分条件，非必要）。

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最短路径与最小生成树

最短路松弛：$d(v)\leftarrow min\{d(v),d(u)+w(u,v)\}$。最小生成树含 $|V|-1$ 条边。割性质：对任意割，跨割的唯一最轻边必属于每一棵最小生成树；并列最轻时可选择某条用于某棵最小生成树。

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可分离变量微分方程

$y^{\prime }=g(x)h(y)$ 在 $h(y)\ne 0$ 的区间可写成 $\int \mathrm{d}y/h(y)=\int g(x)\mathrm{d}x+C$。若 $h(c)=0$，则 $y\equiv c$ 为平衡解。$y^{\prime }=ky$ 的解为 $y=C{e}^{kx}$。

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一阶线性微分方程

对 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$，令 $\mu (x)=e^{\int p(x)\mathrm{d}x}$，则 $(\mu y{)}^{\prime }=\mu q$，故 $y={\mu }^{-1}(\int \mu q\mathrm{d}x+C)$。若 $p,q$ 在含初值点的区间连续，该初值问题有唯一解。

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二阶线性方程与振动

$a{y}^{″}+b{y}^{\prime }+cy=0$（$a\ne 0$）的特征方程为 $a{r}^2+br+c=0$。互异实根时 $y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$；重根 $r$ 时 $y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$；根 $\alpha \pm i\beta$ 时 $y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$。

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微分方程组与平衡稳定性

$x^{\prime }=Ax$ 的解为 $x(t)=e^{At}x(0)$，$e^{At}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(At{)}^k/k!$。若 $A$ 全部特征值实部严格小于零，则零平衡渐近稳定；若某特征值实部为正，则不稳定。对光滑非线性系统，双曲平衡点可由线性化判断局部稳定性。

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数值误差、条件数与稳定性

绝对误差为 $|\hat{x}-x|$，相对误差为 $|\hat{x}-x|/|x|$（$x\ne 0$）。标量函数在非零输入输出附近的相对条件数为 $|x{f}^{\prime }(x)/f(x)|$。可逆矩阵的条件数 $\kappa (A)=\parallel A\parallel \parallel A^{-1}\parallel$（同一诱导范数）。

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非线性求根：二分与 Newton 法

二分进行 $n$ 次后区间长度为 $(b-a)/2^n$，该区间中点误差不超过 $(b-a)/2^{n+1}$。Newton 迭代 $x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f^{\prime }(x_k)$ 要求当前导数非零；在简单根附近且函数足够光滑时通常二次收敛。

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插值与逼近

Lagrange 插值 $p_n(x)=\sum _{i=0}^n{y}_i{L}_i(x)$，$L_i(x)=\prod _{j\ne i}(x-x_j)/(x_i-x_j)$（节点互异）。若 $f\in C^{n+1}$，则误差 $f(x)-p_n(x)=f^{(n+1)}(\xi )\prod _{i=0}^n(x-x_i)/(n+1)!$，$\xi$ 在包含节点和 $x$ 的区间内。

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数值积分与误差阶

单区间梯形值 $T=(b-a)[f(a)+f(b)]/2$；若 $f\in C^2$，误差 $I-T=-(b-a{)}^3{f}^{″}(\xi )/12$。Simpson 值 $S=(b-a)[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6$；若 $f\in C^4$，误差 $I-S=-(b-a{)}^5{f}^{(4)}(\xi )/2880$。

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微分方程的数值解

对 $y^{\prime }=f(t,y)$，Euler 法为 $y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$。在适当光滑和 Lipschitz 条件下，其局部误差为 $O(h^2)$、固定区间全局误差为 $O(h)$。对测试方程 $y^{\prime }=\lambda y$，显式 Euler 衰减稳定条件为 $|1+h\lambda |<1$。

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线性规划与可行域

标准最大化形式为 $max{c}^{T}x$，约束 $Ax\le b,x\ge 0$。若有界多面体非空，连续线性目标必取得最优值，且至少一个最优点是极点。判断目标无界需找到可行方向 $d$，满足 $Ad\le 0,d\ge 0,c^{T}d>0$（从某可行点出发）。

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对偶、弱对偶与互补松弛

原问题 $max{c}^{T}x:Ax\le b,x\ge 0$ 的对偶为 $min{b}^{T}y:A^{T}y\ge c,y\ge 0$。两边可行时 $c^{T}x\le b^{T}y$。最优可行对满足 $y_i(b_i-(Ax{)}_i)=0$、$x_j((A^{T}y{)}_j-c_j)=0$。

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凸优化与梯度下降

凸性定义为 $f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)$，$0\le t\le 1$。二阶连续可微函数在凸开域上凸，当且仅当 Hessian 半正定。梯度下降 $x_{k+1}=x_k-\eta \mathrm{\nabla }f(x_k)$；无约束函数定义在整个 ${\mathbb{R}}^n$、梯度为 $L$-Lipschitz 且 $L>0$ 时，可取 $0<\eta \le 1/L$ 获得标准下降保证。

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网络流与割

每边满足 $0\le f(u,v)\le c(u,v)$，内部顶点流入和等于流出和。源汇割 $(S,V\setminus S)$ 的容量为 $\sum _{u\in S,v\notin S}c(u,v)$。任意流量不超过任意割容量；最大流值等于最小割容量。

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整数规划与动态规划

0–1 背包：$max\sum _i{v}_i{x}_i$，约束 $\sum _i{w}_i{x}_i\le W,x_i\in \{0,1\}$。定义 $F(i,c)$ 为前 $i$ 件物品容量 $c$ 的最优值；若 $w_i\le c$，则 $F(i,c)=max\{F(i-1,c),F(i-1,c-w_i)+v_i\}$，否则只能不选。

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