大学第3阶段数学习题集 · 二阶线性方程与振动至整数规划与动态规划

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知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 22 个知识点；配套 44 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

二阶线性方程与振动

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题 21

解 $y^{″}-3y^{\prime }+2y=0,y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$。

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特征根 $1,2$，故 $y=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}$。初值方程 $C_1+C_2=1,C_1+2C_2=0$，得 $C_1=2,C_2=-1$，所以 $y=2e^x-e^{2x}$。易错：第二个初值应代入导数。

题 22

解 $y^{″}+4y=0,y(0)=0,y^{\prime }(0)=6$。

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特征根为 $\pm 2i$，解为 $C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$。第一个初值得 $C_1=0$，第二个给 $2C_2=6$，所以 $y=3\sin 2x$。易错：振动角频率为 $2$，不是系数 $4$。

微分方程组与平衡稳定性

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题 23

解 $x^{\prime }=-x,y^{\prime }=-2y$，初值 $x(0)=2,y(0)=3$，并判断原点稳定性。

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两式独立，得 $x=2e^{-t},y=3e^{-2t}$。特征值为 $-1,-2$，所有解在 $t\to \mathrm{\infty }$ 趋于原点，因此原点渐近稳定。易错：稳定性讨论通常指定向前时间。

题 24

系统 $x^{\prime }=x,y^{\prime }=-y$ 的原点为何不稳定？

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解为 $x=x_0{e}^t,y=y_0{e}^{-t}$。只要初始 $x_0$ 非零，哪怕很小，横向分量最终增长离开原点附近。特征值一正一负，是鞍型不稳定平衡。易错：一个方向衰减不能抵消另一个方向增长。

数值误差、条件数与稳定性

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题 25

真值为 $100$、近似值为 $99.5$，求绝对误差与相对误差。

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绝对误差 $0.5$，相对误差 $0.5/100=0.005=0.5\mathrm{\%}$。易错：相对误差分母通常使用真值的绝对值；真值为零时该定义不适用。

题 26

当 $x$ 很大且为正时，怎样更稳定地计算 $\sqrt{x^2+1}-x$？

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有理化得 $1/(\sqrt{x^2+1}+x)$，避免两个近似相等数相减。若还要避免 $x^2$ 溢出，可写为 $r/(\sqrt{1+r^2}+1)$，其中先计算 $r=1/x$，不再计算 $x^2$。易错：数学等价表达式在浮点运算中的误差表现可以不同。

非线性求根：二分与 Newton 法

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题 27

从 $[1,2]$ 开始对 $f(x)=x^2-2$ 做一次二分，新的含根区间是什么？

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中点为 $1.5$，函数值为 $0.25>0$，而 $f(1)=-1<0$，所以保留 $[1,1.5]$。易错：须按函数符号选半区间，不能按中点数值大小猜。

题 28

对 $x^2-2=0$，从 $x_0=1$ 做两步 Newton 迭代。

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公式为 $x_{k+1}=(x_k+2/x_k)/2$。得到 $x_1=3/2$，$x_2=(3/2+4/3)/2=17/12\approx 1.4167$。易错：每一步都要使用最新迭代值。

插值与逼近

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题 29

求通过 $(0,1),(2,5)$ 的一次插值多项式，并估计 $x=1$ 处值。

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斜率为 $(5-1)/(2-0)=2$，故 $p(x)=1+2x$，$p(1)=3$。易错：这是由两点确定的线性插值值，不保证未知真实函数也恰取 $3$。

题 30

用节点 $0,1$ 对 $f(x)=x^2$ 作一次插值，求 $x=1/2$ 处的实际误差 $f-p$。

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插值直线为 $p(x)=x$。在 $1/2$ 处，$f-p=1/4-1/2=-1/4$。误差公式也给 $f^{″}/2!\cdot x(x-1)=x(x-1)$，一致。易错：实际误差有符号，绝对误差为 $1/4$。

数值积分与误差阶

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题 31

用单区间梯形法近似 ${\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x$，并求实际误差。

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梯形值为 $(0+1)/2=1/2$，精确积分 $1/3$，所以 $I-T=-1/6$。函数凸时梯形线段在图像上方，因此高估。易错：误差符号依赖定义顺序。

题 32

用 Simpson 法计算 ${\int }_0^1{x}^3\mathrm{d}x$。

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取端点与中点函数值 $0,1/8,1$，得 $S=[0+4/8+1]/6=1/4$。三次函数的四阶导数为零，因此结果精确。易错：中点的系数是 $4$。

微分方程的数值解

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题 33

对 $y^{\prime }=y,y(0)=1$，用步长 $h=0.1$ 的 Euler 法前进两步。

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$y_1=1+0.1\cdot 1=1.1$；$y_2=1.1+0.1\cdot 1.1=1.21$，对应 $t=0.2$。精确解为 $e^t$，可据此比较误差。易错：第二步的斜率取 $y_1$ 而不是初值。

题 34

对 $y^{\prime }=-10y$，显式 Euler 法要满足严格衰减稳定，正步长应满足什么条件？

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要求 $|1-10h|<1$，即 $-1<1-10h<1$，解得 $0<h<0.2$。在 $h=0.2$ 放大因子为 $-1$，不会衰减。易错：连续系统稳定不意味着任意步长的离散方法都稳定。

线性规划与可行域

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题 35

最大化 $3x+2y$，约束 $x,y\ge 0,x+y\le 4,x\le 2$。

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可行多边形顶点为 $(0,0),(2,0),(2,2),(0,4)$，目标值分别为 $0,6,10,8$。故最优点 $(2,2)$，最优值 $10$。易错：只比较坐标轴截距会漏掉约束交点。

题 36

在 $x\ge 0$ 上分别讨论最大化 $x$ 与最小化 $x$。

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可行域无界。最大化时 $x$ 可任意增大，目标无上界；最小化时在 $x=0$ 达到最小值 $0$。易错：可行域无界与某个指定目标无界是两件事。

对偶、弱对偶与互补松弛

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题 37

写出 $max2x$、$x\le 3,x\ge 0$ 的对偶并验证最优值。

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对偶是 $min3y$，约束 $y\ge 2$。原问题取 $x=3$ 得 $6$，对偶取 $y=2$ 也得 $6$，二者可行且值相同，所以均最优。易错：原问题最大化对应此标准形式的对偶最小化。

题 38

若一个原问题可行解目标值为 8，对偶可行解目标值为 10，能否认定原解最优？若两者都为 8 呢？

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第一种只能说明原问题最优值位于 $[8,10]$，不能确认该解最优。第二种由弱对偶，任何原可行解目标都不超过 $8$，已达到界，因此该原解和对偶解均最优。易错：仅有一组可行解不能提供最优性证明。

凸优化与梯度下降

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题 39

对 $f(x)=(x-3{)}^2$ 从 $x_0=0$、步长 $\eta =1/4$ 做两步梯度下降。

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梯度为 $2(x-3)$，$x_1=0-(1/4)(-6)=1.5$，$x_2=1.5-(1/4)(-3)=2.25$。目标值逐步降低，趋近最小点 $3$。易错：更新方向应为负梯度。

题 40

判断 $f(x,y)=x^2+2y^2$ 是否凸，并找全局最小点。

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Hessian 为 $\mathrm{diag}(2,4)$，正定，故严格凸。梯度 $(2x,4y)=0$ 仅在原点成立，原点是唯一全局最小点，最小值 $0$。易错：这里能从驻点推出全局最优，依赖凸性。

网络流与割

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题 41

网络有边 $s\to a$ 容量 3、$a\to t$ 容量 2，没有其他边。最大流是多少？

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两边串联，所有流都必须通过容量为 $2$ 的后边，故至多为 $2$。两边都送 $2$ 可行，因此最大流为 $2$。割 $\{s,a\}$ 的容量也是 $2$，提供证明。易错：串联容量受瓶颈限制。

题 42

网络两条独立路径 $s\to a\to t$ 容量分别为 3、2，$s\to b\to t$ 容量分别为 4、4，求最大流。

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第一路送 $2$，第二路送 $4$，总流 $6$ 可行。割 $\{s,a,b\}$ 到 $t$ 的容量为 $2+4=6$，所以不可能更大，最大流为 $6$。易错：可行流达到某个割的容量才构成最优证书。

整数规划与动态规划

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题 43

两件物品重量分别为 2、3，价值分别为 3、4，容量 3，每件只能取一次，最优方案是什么？

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可行选择为空、第一件、第二件，对应价值 $0,3,4$；两件总重 $5$ 超容量。最优取第二件，价值 $4$。易错：价值重量比最高的第一件并不是本例最优整数选择。

题 44

最大化整数 $x\ge 0$，约束 $2x\le 3$。连续松弛的最优值与整数最优值各是多少？

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连续允许 $x=1.5$，最优值 $1.5$；整数可行值只有 $0,1$，最优为 $1$。把连续解四舍五入为 $2$ 会违反约束。易错：松弛给界，并不直接给可行整数解。