数学：函数、计数与证明

需先会实数四则、阶乘与简单等式变形。本页用平方函数的反函数条件、选人与分配职务、正整数归纳证明三个例子练习“条件改变，结论怎样改变”；条件概率与方程习题可继续练习。例题为原创教学材料。

函数与变化

数学 函数与变化先给定义域。f(x)=x²在实数域上不是一一对应，因为f(1)=f(-1)=1；限制x≥0后才可用非负平方根作反函数。平均变化率是[f(b)-f(a)]/(b-a)，要求b不等于a。

题：f(x)=x²从1到3的平均变化率。答案(9-1)/(3-1)=4，不是末端函数值9。若考察x到x+h，差商为((x+h)²-x²)/h=2x+h，h≠0；只有进一步讨论h趋近0才得到导数2x，不能直接把0放进原分式。

排列组合

数学 排列组合先问交换顺序是否产生新结果。从A、B、C中选两人：无职务是AB、AC、BC共3组；分配主持和记录两个不同职务则AB与BA不同，共3乘2=6种。

一般从n个不同对象无放回取k个有序位置，得到n!/(n-k)!；每个无序集合对应k!种顺序，故组合数为n!/[k!(n-k)!]，要求0≤k≤n为整数。题：4人选2人，无序6组、有序12种。若允许同一个人重复占位，模型改变，不能继续套无放回公式。

归纳证明

数学 归纳证明包括基例、归纳假设和递推一步。证明1+...+n=n(n+1)/2，n为正整数。基例n=1，两边都等于1。假设n=k成立；到k+1时加上k+1，和为k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+2)/2，正是所需形式。

只检查n=1、2、3是有限验证，不是对所有正整数的证明。练习证明前n个奇数和为n²：基例1=1；假设和为k²，下一个奇数为2k+1，相加得(k+1)²。归纳步必须从假设推出下一项，不能直接重复待证结论。