高二数学独立习题集 · 椭圆定义与标准方程至统计相关、回归与预测范围

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本页有 44 道题，每个知识点各两题。建议先独立作答、写出理由，再展开答案核对。

椭圆定义与标准方程

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题 21

求椭圆 $x^2/25+y^2/9=1$ 的焦点与离心率。

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答案： 焦点 $(\pm 4,0)$，离心率 $4/5$。

思路与计算： $a=5,b=3$，$c=\sqrt{25-9}=4$；长轴沿 $x$ 轴。

易错提醒： 椭圆用 $c^2=a^2-b^2$，不是相加。

题 22

某椭圆焦点为 $(\pm 3,0)$，长轴长 $10$，求标准方程。

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答案： $x^2/25+y^2/16=1$。

思路与计算： $2a=10$，所以 $a=5$；$b^2=a^2-c^2=25-9=16$。

易错提醒： 长轴长是 $2a$，不能把 10 直接当 $a$。

双曲线与渐近线

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题 23

求双曲线 $x^2/9-y^2/16=1$ 的焦点与渐近线。

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答案： 焦点 $(\pm 5,0)$，渐近线 $y=\pm 4x/3$。

思路与计算： $a=3,b=4,c=5$，按标准形式直接写出。

易错提醒： 双曲线用参数平方相加求 $c^2$。

题 24

双曲线 $y^2/4-x^2/5=1$ 的实轴在哪个方向，离心率是多少？

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答案： 沿 $y$ 轴，离心率 $3/2$。

思路与计算： 正项是 $y^2$；$a=2,b=\sqrt{5},c=3$，所以 $e=3/2$。

易错提醒： 不能总把 $x$ 对应的分母当 $a^2$。

抛物线焦点与准线

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题 25

求抛物线 $y^2=8x$ 的焦点与准线。

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答案： 焦点 $(2,0)$，准线 $x=-2$。

思路与计算： 比较 $2p=8$ 得 $p=4$，焦点横坐标为 $p/2=2$。

易错提醒： 方程中的系数 8 不是焦点坐标。

题 26

点 $P(2,4)$ 在 $y^2=8x$ 上，求它到焦点的距离。

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答案： $4$。

思路与计算： 按抛物线定义，距离等于到准线 $x=-2$ 的距离，即 $2-(-2)=4$；直接距离也为 $\sqrt{0^2+4^2}=4$。

易错提醒： 到准线的距离沿垂直方向测量。

导数定义与切线

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题 27

用定义求 $f(x)=x^2$ 在 $x=2$ 处的导数。

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答案： $f^{\prime }(2)=4$。

思路与计算： 差商 $[(2+h{)}^2-4]/h=4+h$，令 $h\to 0$ 得 $4$。

易错提醒： 约去 $h$ 时先有 $h\ne 0$，最后才取极限。

题 28

求曲线 $y=x^2$ 在点 $(1,1)$ 处的切线。

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答案： $y=2x-1$。

思路与计算： $f^{\prime }(x)=2x$，斜率 $f^{\prime }(1)=2$；点斜式 $y-1=2(x-1)$。

易错提醒： 切线斜率不是函数值 $f(1)$。

导数公式与运算法则

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题 29

求 $f(x)=x^2{e}^x$ 的导数。

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答案： $f^{\prime }(x)=e^x(x^2+2x)$。

思路与计算： 乘积法则给出 $2x{e}^x+x^2{e}^x$，再提取公因子。

易错提醒： 乘积导数不是两个导数的乘积。

题 30

求 $g(x)=\ln (2x+1)$ 的导数与定义域。

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答案： $g^{\prime }(x)=\frac{2}{2x+1}$，定义域 $x>-1/2$。

思路与计算： 先求外层导数 $1/(2x+1)$，再乘内层导数 2；真数要求 $2x+1>0$。

易错提醒： 不能漏乘内层导数，也不能仅排除分母零点。

导数、单调区间与极值

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题 31

求 $f(x)=x^3-3x$ 的单调区间与极值。

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答案： 递增于 $(-\mathrm{\infty },-1)$、$(1,+\mathrm{\infty })$，递减于 $(-1,1)$；极大值 $2$，极小值 $-2$。

思路与计算： $f^{\prime }=3(x-1)(x+1)$，按根 $-1,1$ 分区间；代入得 $f(-1)=2,f(1)=-2$。

易错提醒： 两个递增区间不能合写成跨越中间区间的一个区间。

题 32

求 $f(x)=x^2-2x$ 在 $[0,3]$ 上的最大最小值。

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答案： 最小值 $-1$，最大值 $3$。

思路与计算： 内部临界点 $x=1$，与端点一并计算：$f(0)=0,f(1)=-1,f(3)=3$。

易错提醒： 闭区间最值需检查两端点。

分类计数、分步计数与排列

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题 33

从 $5$ 人中选班长和副班长，两职位由不同人担任，共多少种？

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答案： $20$ 种。

思路与计算： 班长有 5 种，确定后副班长有 4 种，乘积为 20。

易错提醒： 职位不同，交换两个人算不同安排。

题 34

用数字 $0,1,2,3$ 组成不重复数字的三位数，有多少个？

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答案： $18$ 个。

思路与计算： 百位不能为零，有 3 种；十位有剩余 3 种；个位有 2 种，总数 $3\times 3\times 2=18$。

易错提醒： 不能把首位为零的排列算作三位数。

组合、分组与避免重复

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题 35

从 $8$ 人中选 $3$ 人参加活动，无职位区别，共多少种？

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答案： $56$ 种。

思路与计算： $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3})=8\times 7\times 6/(3\times 2\times 1)=56$。

易错提醒： 无顺序要求，不能使用排列数 336。

题 36

把 $4$ 人分成两组，每组 $2$ 人且两组无标签，共多少种？

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答案： $3$ 种。

思路与计算： 先选一组有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})=6$ 种，每种分组被按两组先后选了两次，所以除以 $2$。

易错提醒： 组无标签造成重复，若是甲乙两组则不用除 2。

二项式定理与系数

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题 37

求 $(1+2x{)}^5$ 中 $x^3$ 的系数。

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答案： $80$。

思路与计算： 选 $r=3$，系数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})2^3=10\times 8=80$。

易错提醒： 系数除了组合数，还要乘第二项中常数的幂。

题 38

求 $(x+1/x{)}^6$ 的常数项，其中 $x\ne 0$。

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答案： $20$。

思路与计算： 通项为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{r})x^{6-2r}$；常数项要求 $6-2r=0$，故 $r=3$，系数 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})=20$。

易错提醒： 常数项对应指数零，而不是第零项。

条件概率与独立性

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题 39

均匀骰子已知点数为偶数，求点数大于 $3$ 的条件概率。

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答案： $2/3$。

思路与计算： 条件样本空间为 $\{2,4,6\}$，其中满足大于 3 的有 $4,6$ 两种。

易错提醒： 分母是条件内的 3 种结果，不再是 6。

题 40

已知 $P(A)=0.4,P(B)=0.5$，且独立，求 $P(A\cup B)$。

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答案： $0.7$。

思路与计算： 交集概率 $0.4\times 0.5=0.2$；并集为 $0.4+0.5-0.2=0.7$。

易错提醒： 独立事件仍可同时发生，不能直接把概率相加。

离散随机变量、期望与二项分布

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题 41

随机变量 $X$ 以概率 $1/4$ 取 $0$、以概率 $3/4$ 取 $4$，求期望。

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答案： $3$。

思路与计算： $E(X)=0\times 1/4+4\times 3/4=3$。

易错提醒： 期望为 3 不表示随机变量能取 3。

题 42

独立进行 $3$ 次成功概率为 $1/2$ 的试验，恰好成功两次的概率是多少？ 另问：$5$ 件产品含 $2$ 件次品，等可能无放回抽 $2$ 件，恰有 $1$ 件次品的概率是多少？

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答案： $3/8$。 无放回题概率为 $3/5$。

思路与计算： $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})(1/2{)}^2(1/2)=3/8$，组合数选择成功位置。 总样本数 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=10$；一件次品一件正品有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})=6$ 种，所以概率为 $6/10$。

易错提醒： 一条成功路径的概率还要乘符合条件的路径数。 两次无放回抽取不独立；用 $2(2/5)(3/5)$ 会得到错误的 $12/25$。

统计相关、回归与预测范围

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题 43

样本为 $(1,2),(2,4),(3,6)$，求最小二乘回归直线。

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答案： $\hat{y}=2x$。

思路与计算： $\overline{x}=2,\overline{y}=4$，协差分子为 $4$、平方分母为 $2$，斜率 2，截距 0；所有残差为零。

易错提醒： 公式中差值必须分别减对应变量的均值。

题 44

某数据表明冰淇淋销量与溺水人数正相关，能否据此认为冰淇淋导致溺水？

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答案： 不能。

思路与计算： 气温等共同因素可能同时提高两者；相关数据本身没有排除混杂，也未建立因果机制。

易错提醒： 不能把统计相关直接解释为因果关系。