高一数学公式速查

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每个专题与知识讲解、习题使用相同编号。先检查条件，再代入公式；数值计算与几何作图统一单位。

集合、区间与集合运算

$A\cap B=\{x:x\in A\text{ 且 }x\in B\}$；$A\cup B=\{x:x\in A\text{ 或 }x\in B\}$。${\complement }_{U}A=\{x\in U:x\notin A\}$；$\varnothing \subseteq A$。$[a,b]=\{x:a\le x\le b\}$。

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充分必要条件与量词

$p\Rightarrow q$：$p$ 充分、$q$ 必要；$p\iff q$：充要。$\mathrm{\neg }(\mathrm{\forall }x\in D,P(x))⟺\mathrm{\exists }x\in D,\mathrm{\neg }P(x)$；$\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }x\in D,P(x))⟺\mathrm{\forall }x\in D,\mathrm{\neg }P(x)$。

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二次不等式与符号分析

若 $a>0,r_1<r_2$，则 $a(x-r_1)(x-r_2)>0⟺x<r_1\text{ 或 }x>r_2$，小于零时 $r_1<x<r_2$。当判别式小于零时，二次式恒与首项系数同号。

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函数的定义域、值域与对应

$\sqrt{g(x)}$ 要求 $g(x)\ge 0$；$1/g(x)$ 要求 $g(x)\ne 0$；${\log }_{a}g(x)$ 要求 $g(x)>0,a>0,a\ne 1$。值域为 $\{f(x):x\in D\}$。

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函数单调性与比较大小

严格递增定义：$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$。对 $f(x)=x^2$，差值 $f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(x_2+x_1)$，由区间决定第二因子符号。

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奇偶性与图象对称

偶函数：$f(-x)=f(x)$；奇函数：$f(-x)=-f(x)$，均需 $x\in D\Rightarrow -x\in D$。零函数在对称定义域上同时为奇、偶函数。

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函数图象的平移与伸缩

若 $(u,f(u))$ 在原图象上，则在 $y=Af(B(x-h))+k$ 上对应点为 $(h+u/B,Af(u)+k)$，其中 $B\ne 0$。$A<0$ 或 $B<0$ 时含相应反射。

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幂函数与有理指数

若 $x>0$，则 $x^{m/n}=\sqrt[n]{x^m}$，$n$ 为正整数，且指数律成立。常见函数：$x^2$ 定义于 $\mathbb{R}$；$\sqrt{x}$ 定义于 $[0,+\mathrm{\infty })$；$1/x$ 定义于 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$。

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指数函数与指数模型

$y=a^x$，$a>0,a\ne 1$，定义域 $\mathbb{R}$、值域 $(0,+\mathrm{\infty })$。复合增长 $A_n=A_0(1+r{)}^n$，要求每期比例固定、$1+r>0$；衰减可取 $-1<r<0$。

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对数定义、运算与方程

${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$；${\log }_a(M/N)={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$；${\log }_a(M^r)=r{\log }_{a}M$，其中 $a>0,a\ne 1,M,N>0$。${\log }_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}$，还要求 $b>0$。

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函数零点与方程根

$f(c)=0$ 时 $c$ 是零点。若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续且 $f(a)f(b)<0$，则 $(a,b)$ 至少有一个零点；加严格单调可保证至多一个。二分 $n$ 次后区间长 $(b-a)/2^n$。

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角度制、弧度制与扇形

${180}^{\circ }=\pi \mathrm{rad}$；${\theta }_{\mathrm{rad}}={\theta }_{\mathrm{deg}}\pi /180$。普通扇形取弧度圆心角 $0\le \theta \le 2\pi$，弧长 $l=r\theta$，扇形面积 $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$，$r>0$。

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单位圆与任意角三角函数

$P=(\cos \theta ,\sin \theta )$，$\tan \theta =\sin \theta /\cos \theta$，要求 $\cos \theta \ne 0$，即 $\theta \ne \pi /2+k\pi$。$\sin 0=0,\cos 0=1$；$\sin (\pi /6)=1/2,\cos (\pi /6)=\sqrt{3}/2$；$\sin (\pi /4)=\cos (\pi /4)=\sqrt{2}/2$。

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正弦、余弦与正切图象

$y=A\sin (\omega x+\phi )+d$，$A\ne 0,\omega \ne 0$：振幅 $|A|$，最小正周期 $T=2\pi /|\omega |$，值域 $[d-|A|,d+|A|]$。正切周期 $\pi$，定义域排除渐近线。

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同角关系、诱导公式与化简

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$；$1+{\tan }^{2}x=1/{\cos }^{2}x$，后式要求 $\cos x\ne 0$。$\sin (-x)=-\sin x,\cos (-x)=\cos x$；$\sin (\pi -x)=\sin x,\cos (\pi -x)=-\cos x$；$\sin (x+\pi )=-\sin x$。

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和差角、倍角与三角恒等变换

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$；$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$。$\sin 2x=2\sin x\cos x$；$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1$。$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$，各正切及分母均须有定义。

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正弦定理、余弦定理与三角形面积

$a/\sin A=b/\sin B=c/\sin C=2R$，$R$ 为外接圆半径。$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。$S=\frac{1}{2}ab\sin C$。要求为非退化三角形，$A,B,C\in (0,\pi )$，和为 $\pi$。

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平面向量、坐标与线性运算

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$。$(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,a_2+b_2)$；$\lambda \mathbf{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2)$。非零向量平行当且仅当 $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$。

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数量积、夹角与投影

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta =a_1{b}_1+a_2{b}_2$。非零向量 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$，$0\le \theta \le \pi$。$\mathbf{a}$ 在非零 $\mathbf{b}$ 方向上的投影值为 $(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})/|\mathbf{b}|$。

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复数、共轭与复平面

$i^2=-1$；$\bar{z}=a-bi$；$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$；$z\bar{z}=|z{|}^2$。$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$，要求 $c^2+d^2>0$。复数没有与实数兼容的通常大小顺序。

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