大学第2阶段数学公式速查

知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 24 个知识点；配套 48 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

公式按知识讲解的编号排列。使用前先检查条件、单位、记号和方向；结论不满足条件时应回到定义或另选方法。

多元函数的极限与偏导数

$f_x(a,b)=\underset{h\to 0}{lim}[f(a+h,b)-f(a,b)]/h$，$f_y$ 类似。若二阶混合偏导在邻域内连续，则 $f_{xy}=f_{yx}$。极坐标估计中若 $|f(r\cos \theta ,r\sin \theta )-L|\le g(r)\to 0$ 且界与 $\theta$ 无关，可证明极限为 $L$。

理解与条件 · 配套练习

全微分、梯度与链式法则

可微时 $\mathrm{d}f=f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y$，单位方向 $u$ 的导数 $D_{u}f=\mathrm{\nabla }f\cdot u$。复合曲线满足 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(x(t),y(t))=f_x{x}^{\prime }+f_y{y}^{\prime }$。若 $F$ 在 $p$ 邻域为 $C^1$，$F(p)=c$ 且 $\mathrm{\nabla }F(p)\ne 0$，则曲面在 $p$ 的切平面为 $\mathrm{\nabla }F(p)\cdot (X-p)=0$。

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多元极值与约束优化

设 $f$ 在内部驻点的邻域有连续二阶偏导，令 $D=f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2$。$D>0,f_{xx}>0$ 为局部极小；$D>0,f_{xx}<0$ 为局部极大；$D<0$ 为鞍点；$D=0$ 无结论。若 $f,g$ 在邻域为 $C^1$，约束 $g=c$ 的极值点处 $\mathrm{\nabla }g\ne 0$，则满足 $\mathrm{\nabla }f=\lambda \mathrm{\nabla }g$。

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二重积分与变量替换

若 $D=\{a\le x\le b,\varphi (x)\le y\le \psi (x)\}$，则 ${\iint }_{D}f\mathrm{d}A={\int }_a^b{\int }_{\varphi (x)}^{\psi (x)}f\mathrm{d}y\mathrm{d}x$。极坐标 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，$\mathrm{d}A=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。一般光滑一一换元使用 Jacobian 行列式的绝对值。

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三重积分与空间坐标

柱坐标体积元 $\mathrm{d}V=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}z$。球坐标 $x=\rho \sin \theta \cos \phi ,y=\rho \sin \theta \sin \phi ,z=\rho \cos \theta$，$\mathrm{d}V={\rho }^2\sin \theta \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$，其中 $\rho \ge 0,0\le \theta \le \pi$。

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第一类曲线积分与弧长

对分段光滑参数曲线 $r(t),a\le t\le b$，${\int }_{C}f\mathrm{d}s={\int }_a^{b}f(r(t))\parallel r^{\prime }(t)\parallel \mathrm{d}t$；取 $f=1$ 得弧长。若改成反向参数但只覆盖一次，积分不变。

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向量线积分与 Green 定理

${\int }_{C}F\cdot \mathrm{d}r={\int }_a^{b}F(r(t))\cdot r^{\prime }(t)\mathrm{d}t$。若 $F=\mathrm{\nabla }\varphi$，则积分为 $\varphi (B)-\varphi (A)$。若 $P,Q$ 在规则区域 $D$ 的邻域为 $C^1$，则 ${\oint }_{\partial D}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y)={\iint }_D(Q_x-P_y)\mathrm{d}A$，边界取正向。

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曲面积分与 Gauss 散度定理

参数曲面 $r(u,v)$ 的面积元为 $\parallel r_u\times r_v\parallel \mathrm{d}u\mathrm{d}v$；定向通量为 $\iint F(r)\cdot (r_u\times r_v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$。对 $C^1$ 场及分片光滑闭边界，${\text{oiint}}_{\partial V}F\cdot n\mathrm{d}S={\iiint }_V\mathrm{\nabla }\cdot F\mathrm{d}V$，$n$ 为外法向。

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旋度与 Stokes 定理

$\mathrm{\nabla }\times F=({\partial }_y{F}_z-{\partial }_z{F}_y,{\partial }_z{F}_x-{\partial }_x{F}_z,{\partial }_x{F}_y-{\partial }_y{F}_x)$。对定向分片光滑曲面 $S$ 和其邻域内 $C^1$ 场，${\oint }_{\partial S}F\cdot \mathrm{d}r={\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times F)\cdot n\mathrm{d}S$。

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数项级数与收敛判别

几何级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^n=a/(1-r)$（$|r|<1$）。$\sum n^{-p}$ 当且仅当 $p>1$ 收敛。若 $L=lim|a_{n+1}/a_n|<1$，则绝对收敛；$L>1$ 发散；$L=1$ 无结论（比值须最终有定义）。根值判别令 $q=lim sup|a_n{|}^{1/n}$：$q<1$ 绝对收敛，$q>1$ 发散，$q=1$ 无结论。交错项 $b_n\downarrow 0$ 时截断误差不超过下一项 $b_{N+1}$。

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幂级数、收敛半径与逐项运算

对 $\sum a_n(x-c{)}^n$，$R^{-1}=lim sup|a_n{|}^{1/n}$（采用 $1/0=\mathrm{\infty }$）。$|x|<1$ 时 $1/(1-x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n$，$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{x}^n/n$；后者在 $x=1$ 也收敛，在 $x=-1$ 发散。

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特征值、特征向量与谱

$v\ne 0$ 且 $Av=\lambda v$ 定义特征向量及对应特征值。存在这样的非零 $v$ 当且仅当 $det(A-\lambda I)=0$；行列式为零本身不说明任意给定 $v$ 都是特征向量。$E_{\lambda }=\ker (A-\lambda I)$。计入代数重数后，$\sum _i{\lambda }_i=\mathrm{tr}A$，$\prod _i{\lambda }_i=detA$。

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相似对角化与矩阵幂

若有 $n$ 个线性无关特征向量组成 $P$，则 $A=PD{P}^{-1}$，其中 $D$ 为对应特征值组成的对角矩阵，$A^k=P{D}^k{P}^{-1}$。可对角化等价于各特征空间维数之和为 $n$（在所用数域上）。

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内积、正交投影与 Gram–Schmidt

实欧氏空间 $⟨x,y⟩=x^{T}y$，$\parallel x\parallel =\sqrt{x^{T}x}$。$u\ne 0$ 时 ${\mathrm{proj}}_{u}v=(u^{T}v)/(u^{T}u)u$。若 $Q$ 的列正交归一，则投影到其列空间为 $Q{Q}^{T}v$，余量与各列正交。

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实对称谱定理与二次型

若 $A=A^T$，存在正交矩阵 $Q$ 使 $Q^{T}AQ=\mathrm{diag}({\lambda }_i)$，且 $x^{T}Ax=\sum _i{\lambda }_i{y}_i^2$（$x=Qy$）。正定等价于所有 ${\lambda }_i>0$，也等价于所有顺序主子式为正。半正定则要求所有特征值非负。

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最小二乘与线性拟合

最小化 $\parallel Ax-b{\parallel }^2$ 的必要充分条件为 $A^T(Ax-b)=0$。若 $A$ 列满秩，则 $\hat{x}=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}b$。残差 $r=b-A\hat{x}$ 满足 $A^{T}r=0$。带截距直线拟合令每行设计向量为 $(1,t_i)$。

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概率空间与事件运算

$P(\mathrm{\Omega })=1$，$P(A^c)=1-P(A)$，$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。等可能有限模型下 $P(A)=|A|/|\mathrm{\Omega }|$。从 $n$ 个不同对象无放回选 $k$ 个且不计次序，共 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=n!/[k!(n-k)!]$ 种。

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条件概率、独立与 Bayes 公式

$P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$（$P(B)>0$）。独立条件为 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。若 $B_i$ 构成正概率划分，则 $P(A)=\sum _{i}P(A\mid B_i)P(B_i)$，$P(B_j\mid A)=P(A\mid B_j)P(B_j)/P(A)$（$P(A)>0$）。

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离散分布：二项与 Poisson

$X\sim \mathrm{Bin}(n,p)$：$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$，$EX=np$，$\mathrm{Var}X=np(1-p)$。$Y\sim \mathrm{Pois}(\lambda )$：$P(Y=k)=e^{-\lambda }{\lambda }^k/k!$，$EY=\mathrm{Var}Y=\lambda$，$k=0,1,\dots$。

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连续分布与密度

密度满足 $f\ge 0$、${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f=1$，$P(a<X\le b)={\int }_a^{b}f$。指数密度 $\lambda e^{-\lambda x}$（$x\ge 0,\lambda >0$），尾概率 $P(X>t)=e^{-\lambda t}$（$t\ge 0$；$t<0$ 时为 $1$）。若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$、$\sigma >0$，则 $Z=(X-\mu )/\sigma \sim N(0,1)$。原变量 $X$ 的密度为 $e^{-(x-\mu {)}^2/(2{\sigma }^2)}/(\sigma \sqrt{2\pi })$。

分布函数 $F_X(x)=P(X\le x)$ 适用于离散和连续情形。有联合密度 $f_{X,Y}$ 时，$f_X(x)={\int }_{\mathbb{R}}{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}y$；在 $f_X(x)>0$ 处，条件密度 $f_{Y\mid X}(y\mid x)=f_{X,Y}(x,y)/f_X(x)$。独立当且仅当联合密度几乎处处等于边缘密度之积。连续条件密度不是把 $P(X=x)=0$ 直接作为分母。

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期望、方差与协方差

当 $E|X|<\mathrm{\infty }$ 时，离散情形 $EX=\sum _{x}xP(X=x)$，有密度时 $EX={\int }_{\mathbb{R}}x{f}_X(x)\mathrm{d}x$。函数期望相应为 $E[h(X)]=\sum _{x}h(x)P(X=x)$ 或 $\int h(x)f_X(x)\mathrm{d}x$，有限期望要求绝对可积。$E(aX+bY)=aEX+bEY$ 要求相关期望有限。以下方差、协方差公式要求有限二阶矩：$\mathrm{Var}X=E(X^2)-(EX{)}^2$；$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-EXEY$。$\mathrm{Var}(aX+bY)=a^2\mathrm{Var}X+b^2\mathrm{Var}Y+2ab\mathrm{Cov}(X,Y)$。方差均有限且严格为正时相关系数 $\rho =\mathrm{Cov}(X,Y)/({\sigma }_X{\sigma }_Y)$。

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大数定律与中心极限定理

若 $X_i$ 独立同分布且 $E|X_i|<\mathrm{\infty }$，样本均值 ${\overline{X}}_n$ 依概率趋于 $\mu$。若还满足 $0<{\sigma }^2<\mathrm{\infty }$，则 $\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )/\sigma$ 依分布趋于 $N(0,1)$。$\mathrm{Var}{\overline{X}}_n={\sigma }^2/n$，标准误为 $\sigma /\sqrt{n}$。

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参数估计与置信区间

$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum X_i$，$S^2=\frac{1}{n-1}\sum (X_i-\overline{X}{)}^2$（$n\ge 2$）。以下区间均要求独立同分布正态样本、$0<\alpha <1$，$z_p,t_{\nu ,p}$ 表示相应分布的 $p$ 分位数。正态总体、已知 $\sigma$ 的均值 $1-\alpha$ 置信区间为 $\overline{X}\pm z_{1-\alpha /2}\sigma /\sqrt{n}$。正态总体、未知方差时用 $\overline{X}\pm t_{n-1,1-\alpha /2}S/\sqrt{n}$。

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假设检验与错误类型

独立同分布正态样本、已知总体标准差 $\sigma >0$ 时，检验 $H_0:\mu ={\mu }_0$ 用 $Z=(\overline{X}-{\mu }_0)/(\sigma /\sqrt{n})$。双侧显著性水平 $\alpha$ 下，$|Z|>z_{1-\alpha /2}$ 时拒绝；双侧 $p=2[1-\mathrm{\Phi }(|Z|)]$。检验方向须在观察结果前确定。

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