九年级数学知识讲解 · 树状图与列表法求概率至综合几何证明与分类讨论

由一元二次方程进入二次函数，把代数与图象联系起来；几何以相似、圆、锐角三角函数为主，并用树状图与统计模型处理随机现象。综合题的重点是标清条件、分类和检验。

树状图与列表法求概率

多步试验可按先后画树状图，终点代表完整结果。列表法适合两个步骤各有有限结果的情形。只有完整结果等可能时才能直接按终点计数；否则应沿分支乘概率，再把互斥路径概率相加。有放回与无放回的第二步条件不同。

公式与条件： 有限等可能样本空间中 $P (A) = \frac{# A}{# Ω}$ 。两步路径概率 $= 第一步概率 \times 在第一步已发生条件下的第二步概率$ 。不同互斥路径的概率可以相加。

$无放回取球的条件概率树$

图示使用 $2$ 红 $1$ 蓝且无放回抽取；首球为红后，剩余 $1$ 红 $1$ 蓝，因此第二球为红的条件概率为 $1 / 2$ 。读图时注意它与本节习题的球数不同。

一次结果不改变另一次结果的概率时，两事件独立；独立与互斥不是一回事。无放回抽取会改变袋中组成，后续概率要按剩余数量重新计算。把“每次随机”当作“相互独立”是常见错误。可用小规模树状图检验乘法过程。

公式与条件： 独立事件 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ 。一般情形为 $P (A \cap B) = P (A) P (B ∣ A)$ ，要求 $P (A) > 0$ 。无放回后总数和相关颜色数都须更新。

总体是研究对象的全部个体，样本是实际观测的一部分。样本比例可估计总体比例，但前提是抽样方式能代表总体；方便抽样容易偏向某一类人，增加样本量也不能自动消除系统偏差。估计结果应使用“约”，并区分抽样波动与记录错误。

公式与条件： 样本比例 $\hat{p} = m / n$ ，估计总体相关人数约为 $N \hat{p}$ ，其中样本量 $n > 0$ 、总体规模 $N$ 。这是估计而非总体真实值的恒等式。

连续型数据可按组整理成频数分布。分组边界要不重不漏，例如统一采用左闭右开区间。比较两组数据时同时看中心和离散程度：平均数相同不表示稳定性相同。分组数据用组中值计算的平均数通常只是近似值，因为组内具体位置未知。

公式与条件： 频率 $f_{i} / n$ ，各组频率和为 $1$ 。组中值 $m_{i} = (a_{i} + b_{i}) / 2$ ，分组均值近似为 $\bar{x} \approx \frac{\sum f_{i} m_{i}}{n}$ ；原始数据不明时不能写成精确均值。

将直线、抛物线或圆的关系写为方程，可以把交点问题转成联立求解。得到坐标后再用水平底、垂直高或分割图形求面积。方程的根可能对应多个交点，必须全部回代；图形上的估读只能帮助判断，不能替代精确计算。

公式与条件： 两曲线交点满足两个方程同时成立。三角形面积 $S = \frac{1}{2} | x_{1} (y_{2} - y_{3}) + x_{2} (y_{3} - y_{1}) + x_{3} (y_{1} - y_{2}) |$ ；初中可优先用底乘高或补形法理解此式。

证明先列已知、目标，再寻找能连接它们的中间结论，例如先证平行得角相等，再用相似求比例。分类讨论要覆盖全部情况且互不遗漏，常见分界包括顶点位置、等腰三角形哪两边相等、二次方程判别式。一个图形示例不能证明一般命题。

公式与条件： 证明链可写为“已知条件 $\Rightarrow$ 定理条件成立 $\Rightarrow$ 所求结论”。若按参数分类，分界值本身须单独检查。反例只需一个即可否定全称命题，但举例不能证明全称命题。