高等数学与离散数学学习笔记 · 高等数学课程至离散数学

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本页定位为2023年旧学习笔记与专题导航：保留具体组合、概率、导数和方程例题；没有输入的题型改为现有练习入口。保留原笔记的主题与旧地址，已纠正生日概率、特征值表述、方程答案和损坏的公式。系统学习请进入大学数学路线，逐年级习题与答案已独立整理。

高等数学与离散数学学习笔记

本页定位为2023年旧学习笔记与专题导航：保留具体组合、概率、导数和方程例题；没有输入的题型改为现有练习入口。保留原笔记的主题与旧地址，已纠正生日概率、特征值表述、方程答案和损坏的公式。系统学习请进入大学数学路线，逐年级习题与答案已独立整理。

高等数学课程

按需要进入已有课程：单变量微积分、线性代数、常微分方程、多元微积分、实分析与复分析、Fourier 与 Laplace 变换。它们是不同专题，变换方法不能一概视为 Fourier 分析。

排列组合

基础

排列和组合是数学中的两个概念，它们常用于解决计数问题。

排列是指从一组元素中取出一些元素按照一定的顺序排列，它的符号通常用 $A_n^m$ 或 $P_n^m$ 表示。其中，$n$ 表示元素的总数，$m$ 表示要取出的元素个数，$n$ 和 $m$ 都是非负整数且 $n\ge m$。其公式为：$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$ 或 $P_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)$。

组合是指从一组元素中取出一些元素，不考虑其顺序，它的符号通常用 $C_n^m$ 或 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$ 表示。其中，$n$ 表示元素的总数，$m$ 表示要取出的元素个数，$n$ 和 $m$ 都是非负整数且 $n\ge m$。其公式为：$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ 或 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=\frac{n!}{m!(n-m)!}$。

需要注意的是，排列和组合的区别在于是否考虑元素的顺序。如果考虑元素的顺序，就是排列；如果不考虑元素的顺序，就是组合。在实际应用中，排列和组合经常用于计算可能性的数量，例如在赛事中确定参赛人员的名单、计算密码的组合等

学习方法

1. 熟练掌握阶乘的概念和计算方法，因为排列和组合的计算中会用到阶乘。
2. 掌握排列和组合的定义和公式，并了解它们的区别。
3. 通过练习题巩固理论知识，可以从基础的排列组合问题开始练习，例如从一堆球中选出几个球进行排列或组合等。可以逐渐增加难度，提高解题能力。
4. 多关注实际问题中的排列组合应用，例如在赛事中确定参赛人员的名单、计算密码的组合等，可以帮助理解排列组合的应用场景。
5. 学习计算机科学中的排列组合算法，例如回溯算法、动态规划算法等，可以提高对排列组合的理解和应用能力。
6. 最后，需要坚持练习和复习，不断巩固和提高自己的排列组合能力。

阶乘的概念和计算方法

阶乘是指从 1 到某个正整数之间所有整数的乘积。例如，$5!$ 表示从 1 到 5 之间所有整数的乘积，即 $5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120$。阶乘通常用符号 $n!$ 表示，其中 $n$ 是一个非负整数。

计算阶乘时将从 1 到 $n$ 的整数相乘；$n=0$ 时按定义取 $0!=1$。大数可以使用科学计数法给出近似值，例如 $100!\approx 9.332621544\times {10}^{157}$。

阶乘在数学和计算机科学中都有广泛的应用。在数学中，阶乘是组合数学中的一个基本概念，与排列、组合等概念密切相关。在计算机科学中，阶乘的计算经常用于算法设计中，例如递归算法、动态规划算法等。

本节的组合计数只使用非负整数阶乘，且 $0!=1$。更广的伽马函数延拓属于大学分析内容，不能把本节的适用范围误写成绝对不存在延拓。

排列和组合的定义和公式

定义、符号和公式统一见基础，阶乘条件见上一节。需要独立题目可做高二排列练习和组合练习。

排列和组合的经典问题

排列和组合在组合数学中有着广泛的应用，可以用来解决很多经典的问题，以下列举一些：

1. 生日悖论：在一个房间里，如果有 23 个人，那么至少有两个人生日相同的概率是多少？这个问题可以通过计算从 365 个不同的生日中选取 23 个生日的不同排列数来解决，在生日独立且365天等可能的模型下，全异概率为 $A_{365}^{23}/{365}^{23}$，至少重复概率为 $1-A_{365}^{23}/{365}^{23}\approx 0.5073$。
2. 扑克牌的组合数：扑克牌一副共有 52 张牌，如果从中选取 5 张牌组成一副“手牌”，那么有多少种不同的手牌组合方式？这个问题可以通过计算从 52 张牌中选取 5 张牌的不同组合数来解决，即 $C_{52}^5$，得到答案为 2,598,960。
3. 队伍的排列组合：在一个班级里，有 20 个人，其中有 5 个人被选为演讲代表，如果要按照一定的顺序排成一队，那么有多少种不同的排列方式？这个问题可以通过计算从 5 个代表中选取 5 个人进行排列的方案数来解决，即 $A_5^5$，得到答案为 120。
4. 二项式定理：二项式定理是组合数学中的一个重要定理，它描述了两个数之和的幂的展开式。具体来说，它表示：

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$$

其中，$C_n^k$ 表示从 $n$ 个元素中选取 $k$ 个元素进行组合的方案数。

以上仅是排列和组合问题的一部分例子，排列和组合在现实生活和科学研究中有着广泛的应用，掌握排列和组合的基本原理和方法，能够帮助我们更好地理解和解决这些问题

离散数学

离散数学基础

离散数学是研究离散量的数学学科，它涵盖了数论、图论、逻辑、集合论、代数结构、组合数学等多个分支。离散数学在计算机科学、信息科学、工程学等领域中有着广泛的应用。

以下是离散数学的基础知识点：

1. 集合论：集合论是研究集合及其运算的数学分支，它包括集合的基本概念、集合的运算、集合的关系、集合的代数运算、集合的函数、基数等概念。
2. 逻辑：逻辑是研究正确推理的科学，它包括命题逻辑、一阶逻辑、模态逻辑等多个分支。逻辑中的基本概念包括命题、命题变元、联结词、真值表、命题公式等。
3. 图论：图论是研究图及其性质的数学分支，它包括图的基本概念、图的遍历、图的连通性、图的染色、最短路径等问题。
4. 代数结构：代数结构是研究代数系统及其性质的数学分支，它包括群论、环论、域论等多个分支。代数结构中的基本概念包括代数系统的定义、子群、正规子群、同态、同构等。
5. 组合数学：组合数学是研究离散对象的组合方式的数学分支，它包括排列组合、二项式定理、生成函数、容斥原理等多个分支。

离散数学经典题目

原记录中的最大匹配、平面着色和约瑟夫问题没有给图或人数参数，只能作为题型目录，不能当作已给输入的练习。当前可直接作答的例题见 Euler/Hamilton 辨析、最短路与生成树、网络流与割。Hamilton 回路判定问题的复杂性见课程范围，不能把未知的 P/NP 关系写成已证明无多项式算法。