九年级数学公式速查

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每个专题与知识讲解、习题使用相同编号。先检查条件，再代入公式；数值计算与几何作图统一单位。

一元二次方程的解法

$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$，实根公式 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，要求 $b^2-4ac\ge 0$。配方：$x^2+px+q=(x+\frac{p}{2}{)}^2+q-\frac{p^2}{4}$。

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判别式与根系关系

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$；$\mathrm{\Delta }>0$ 有两个不同实根，$\mathrm{\Delta }=0$ 有两个相等实根，$\mathrm{\Delta }<0$ 无实根。若实根为 $x_1,x_2$，则 $x_1+x_2=-b/a,x_1{x}_2=c/a$。

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二次函数的顶点与图象

$y=a{x}^2+bx+c=a(x-h{)}^2+k$，$a\ne 0$，$h=-\frac{b}{2a}$，$k=c-\frac{b^2}{4a}$。顶点 $(h,k)$，对称轴 $x=h$；$a>0$ 时最小值 $k$，$a<0$ 时最大值 $k$，均指全实数定义域。

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二次函数的实际最值

$f(x)=a(x-h{)}^2+k$ 在闭区间 $[u,v]$ 上的最值，从端点 $u,v$ 及落在区间内的顶点 $h$ 中比较，要求 $u\le v$。面积、价格等额外约束不能省略。

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反比例函数

$y=\frac{k}{x}$，$k\ne 0,x\ne 0$，等价于 $xy=k$。设 $O$ 为原点，$P(x,y)$，$H(x,0)$ 为其在 $x$ 轴上的垂足，则直角三角形 $OPH$ 的面积为 $\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。

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比例线段与相似三角形

若 $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}DEF$，相似比 $k=AB/DE=BC/EF=AC/DF>0$，则周长比为 $k$、面积比为 $k^2$。平行截线可产生相似三角形，但需按具体图形确认对应。

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锐角三角函数与解直角三角形

$\sin A=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$，$\cos A=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$，$\tan A=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$，$0^{\circ }<A<{90}^{\circ }$。${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$，$\tan A=\sin A/\cos A$。${30}^{\circ },{45}^{\circ },{60}^{\circ }$ 的正切依次为 $\sqrt{3}/3,1,\sqrt{3}$。

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圆的弦、半径与切线

半径 $r>0$，圆心到直线距离 $d$：$d<r$ 相交，$d=r$ 相切，$d>r$ 相离。弦长 $l=2\sqrt{r^2-d^2}$，适用于 $0\le d<r$。从圆外同一点引圆的两条切线，圆外点到两个切点的线段相等。

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圆心角与圆周角

同弧所对 $\mathrm{\angle }ACB=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }AOB$，其中 $O$ 为圆心，选取与该弧对应的圆心角。若 $AB$ 为直径且 $C$ 为圆上另一点，则 $\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$。

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圆内接四边形与正多边形

圆内接四边形 $A+C={180}^{\circ },B+D={180}^{\circ }$。正 $n$ 边形外接圆半径 $R$：边长 $a=2R\sin ({180}^{\circ }/n)$，边心距 $r=R\cos ({180}^{\circ }/n)$，面积 $S=nar/2$，$n\ge 3$。

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弧长、扇形与圆锥侧面积

角度制下 $l=\frac{n\pi r}{180}$，$S_{\text{扇}}=\frac{n\pi r^2}{360}=\frac{1}{2}rl$，$0\le n\le 360$。直圆锥母线 $L=\sqrt{r^2+h^2}$，侧面积 $\pi rL$，全面积 $\pi rL+\pi r^2$。

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平移、旋转与轴对称

关于 $x$ 轴：$(x,y)\mapsto (x,-y)$；关于 $y$ 轴：$(x,y)\mapsto (-x,y)$；关于原点：$(x,y)\mapsto (-x,-y)$。绕原点逆时针 ${90}^{\circ }$：$(x,y)\mapsto (-y,x)$。 轴向放置的长方体若左右长 $a$、前后宽 $b$、上下高 $c$，主视图为 $a\times c$，俯视图为 $a\times b$，左视图为 $b\times c$（分别列水平、竖直尺寸）。

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树状图与列表法求概率

有限等可能样本空间中 $P(A)=\frac{\mathrm{\#}A}{\mathrm{\#}\mathrm{\Omega }}$。两步路径概率 $=\text{第一步概率}\times \text{在第一步已发生条件下的第二步概率}$。不同互斥路径的概率可以相加。

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独立试验与无放回抽取

独立事件 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。一般情形为 $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$，要求 $P(A)>0$。无放回后总数和相关颜色数都须更新。

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抽样调查与总体估计

样本比例 $\hat{p}=m/n$，估计总体相关人数约为 $N\hat{p}$，其中样本量 $n>0$、总体规模 $N$。这是估计而非总体真实值的恒等式。

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频数分布与数据比较

频率 $f_i/n$，各组频率和为 $1$。组中值 $m_i=(a_i+b_i)/2$，分组均值近似为 $\overline{x}\approx \frac{\sum f_i{m}_i}{n}$；原始数据不明时不能写成精确均值。

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坐标几何中的交点与面积

两曲线交点满足两个方程同时成立。三角形面积 $S=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$；初中可优先用底乘高或补形法理解此式。

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综合几何证明与分类讨论

证明链可写为“已知条件 $\Rightarrow$ 定理条件成立 $\Rightarrow$ 所求结论”。若按参数分类，分界值本身须单独检查。反例只需一个即可否定全称命题，但举例不能证明全称命题。

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