高三数学独立习题集 · 等价变形与定义域追踪至数列综合与求和估计

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知识讲解 · 公式速查 · 独立习题集 · 数学总览

本页有 40 道题，每个知识点各两题。建议先独立作答、写出理由，再展开答案核对。

高三数学独立习题集

知识讲解 · 公式速查 · 独立习题集 · 数学总览

本页有 40 道题，每个知识点各两题。建议先独立作答、写出理由，再展开答案核对。

知识点	配套题号
s12-01 等价变形与定义域追踪	题 1、题 2
s12-02 函数交点与参数根数	题 3、题 4
s12-03 用导数证明不等式	题 5、题 6
s12-04 指数对数复合与换元	题 7、题 8
s12-05 三角方程与周期解集	题 9、题 10
s12-06 解三角形中的多解与边界	题 11、题 12
s12-07 向量与坐标综合证明	题 13、题 14
s12-08 直线与圆锥曲线的联立	题 15、题 16
s12-09 圆锥曲线焦点性质与轨迹	题 17、题 18
s12-10 数列综合与求和估计	题 19、题 20
s12-11 基本不等式与柯西不等式	题 21、题 22
s12-12 限制条件下的排列组合	题 23、题 24
s12-13 全概率与贝叶斯更新	题 25、题 26
s12-14 期望、方差与收益模型	题 27、题 28
s12-15 正态分布与标准化	题 29、题 30
s12-16 统计推断、抽样偏差与结论边界	题 31、题 32
s12-17 数学归纳法、反证与反例	题 33、题 34
s12-18 空间几何中的截面与距离	题 35、题 36
s12-19 优化建模与结果解释	题 37、题 38
s12-20 分段函数、边界与综合数值检验	题 39、题 40

等价变形与定义域追踪

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题 1

解 $\sqrt{x+2}=x$。

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答案： $x=2$。

思路与计算： 右侧要求 $x\ge 0$；平方得 $x+2=x^2$，根为 $2,-1$，负根不满足条件，代回 2 成立。

易错提醒： 平方后的根必须检查原式符号约束。

题 2

解 $x(x-2)=0$，说明为什么不能先除以 $x$。

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答案： $x=0$ 或 $x=2$。

思路与计算： 零乘积性质直接得两根；若除以 $x$，就隐含排除了 $x=0$，造成漏解。

易错提醒： 除未知式前必须讨论它是否为零。

函数交点与参数根数

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题 3

讨论方程 $x^2-2x=m$ 的不同实根个数。

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答案： $m<-1$ 无实根；$m=-1$ 一个不同实根；$m>-1$ 两个不同实根。

思路与计算： 写成 $(x-1{)}^2=m+1$，按右侧负、零、正分类。

易错提醒： “两个相等实根”按不同根计数时只有一个。

题 4

讨论 $a{x}^2+x-1=0$ 在 $a=0$ 与 $a\ne 0$ 时的实根条件。

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答案： $a=0$ 时唯一根 1；$a\ne 0$ 时，$a>-1/4$ 有两不同实根，$a=-1/4$ 有一重根，$a<-1/4$ 无实根。

思路与计算： 先处理降次；非零 $a$ 时判别式 $1+4a$ 决定根数。

易错提醒： 分类中的 $a\ne 0$ 条件不可在总结时遗失。

用导数证明不等式

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题 5

证明对所有 $x>0$，$\ln x\le x-1$。

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答案： 不等式成立，等号仅在 $x=1$。

思路与计算： 令 $g=x-1-\ln x$，$g^{\prime }=1-1/x$ 在 $(0,1)$ 为负，在 $(1,+\mathrm{\infty })$ 为正；故最小值为 $g(1)=0$。

易错提醒： 需说明整个正半轴上的单调符号，而非只算出一个驻点。

题 6

证明 $e^x\ge 1+x$，并给出等号条件。

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答案： 恒成立，等号仅在 $x=0$。

思路与计算： 令 $h=e^x-1-x$，$h^{\prime }=e^x-1$，在负半轴为负、正半轴为正，故最小值为 $h(0)=0$。

易错提醒： 指数正值并不直接说明差值非负，需要比较。

指数对数复合与换元

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题 7

解 $4^x-5\cdot 2^x+4=0$。

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答案： $x=0$ 或 $x=2$。

思路与计算： 令 $t=2^x>0$，方程变为 $(t-1)(t-4)=0$，两根均正；回代得到 $2^x=1$ 或 $4$。

易错提醒： 换元后的负根若出现，应直接舍去。

题 8

解 ${\log }_{1/2}(x-1)>-1$。

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答案： $1<x<3$。

思路与计算： 先有 $x>1$；$-1={\log }_{1/2}2$，底数小于 1，函数递减，所以 $x-1<2$。

易错提醒： 底数介于 0 和 1 时比较真数需反向。

三角方程与周期解集

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题 9

解 $\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中 $0\le x<\pi$。

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答案： $x=\pi /6$ 或 $x=\pi /3$。

思路与计算： $2x\in [0,2\pi )$，对应角为 $\pi /3,2\pi /3$，再除以 2。

易错提醒： 先把原区间按内部角倍数转换。

题 10

解 $2{\sin }^{2}x-\sin x=0$，其中 $0\le x<2\pi$。

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答案： $x=0,\pi /6,5\pi /6,\pi$。

思路与计算： 分解为 $\sin x(2\sin x-1)=0$，分别处理 $\sin x=0$ 与 $\sin x=1/2$。

易错提醒： 直接除以 $\sin x$ 会漏掉 0 和 $\pi$。

解三角形中的多解与边界

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题 11

三角形中 $A={30}^{\circ },a=1,b=\sqrt{2}$，求所有可能的 $B$。

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答案： $B={45}^{\circ }$ 或 ${135}^{\circ }$。

思路与计算： 正弦定理给 $\sin B=\sqrt{2}/2$；两候选与 ${30}^{\circ }$ 相加分别为 ${75}^{\circ },{165}^{\circ }$，都小于 ${180}^{\circ }$。

易错提醒： 不能只取反正弦给出的锐角。

题 12

三角形中 $A={60}^{\circ },a=1,b=2$，是否存在？

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答案： 不存在。

思路与计算： $\sin B=b\sin A/a=\sqrt{3}>1$，超出正弦值范围。

易错提醒： 计算得到不合法三角值时应判无解，不继续套公式。

向量与坐标综合证明

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题 13

证明平行四边形对角线相等时，它是矩形。

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答案： 结论成立。

思路与计算： 设相邻边向量为非零 $\mathbf{u},\mathbf{v}$，对角线为 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{u}-\mathbf{v}$；长度相等推出 $4\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0$，相邻边垂直，故为矩形。

易错提醒： 结论依赖已知是非退化平行四边形。

题 14

$A(0,0),B(4,0),C(1,3)$，求中线 $CM$ 长，其中 $M$ 为 $AB$ 中点。

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答案： $\sqrt{10}$。

思路与计算： $M=(2,0)$，$\overrightarrow{CM}=(1,-3)$，长度为 $\sqrt{1+9}$。

易错提醒： 中线连接顶点与对边中点，不必垂直于对边。

直线与圆锥曲线的联立

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题 15

求直线 $y=1$ 截椭圆 $x^2/9+y^2/4=1$ 所得弦长。

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答案： $3\sqrt{3}$。

思路与计算： 代入得 $x^2/9=3/4$，两横坐标为 $\pm 3\sqrt{3}/2$，相减得弦长。

易错提醒： 水平弦长度可直接用横坐标差的绝对值。

题 16

直线 $y=x+m$ 与圆 $x^2+y^2=2$ 相切，求 $m$。

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答案： $m=\pm 2$。

思路与计算： 圆心到直线 $x-y+m=0$ 的距离为 $|m|/\sqrt{2}$，等于半径 $\sqrt{2}$，故 $|m|=2$。

易错提醒： 相切可能在圆的两侧，不能漏掉负截距。

圆锥曲线焦点性质与轨迹

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题 17

椭圆 $x^2/25+y^2/16=1$ 上一点到左焦点距离为 $3$，求到右焦点距离。

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答案： $7$。

思路与计算： 长半轴 $a=5$，两焦距之和为 $10$，所以另一距离为 $10-3=7$。

易错提醒： 固定和是 $2a$，不是 $a$。

题 18

抛物线 $y^2=4x$ 上点 $P$ 到焦点距离为 $5$，求所有可能坐标。

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答案： $(4,4)$ 或 $(4,-4)$。

思路与计算： 焦点 $(1,0)$、准线 $x=-1$，等距给 $x+1=5$，故 $x=4$；代入得 $y^2=16$。

易错提醒： 同一横坐标在抛物线上通常对应上下两点。

数列综合与求和估计

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题 19

已知 $S_n=n^2+2n$，求通项 $a_n$。

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答案： $a_n=2n+1$，$n\ge 1$。

思路与计算： $a_1=S_1=3$；$n\ge 2$ 时差分为 $n^2+2n-[(n-1{)}^2+2(n-1)]=2n+1$，与首项一致。

易错提醒： 必须检查公式是否适用于首项。

题 20

求 $\sum _{k=1}^n\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ 并判断是否小于 $1/2$。

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答案： $\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$，对正整数 $n$ 严格小于 $1/2$。

思路与计算： 通项拆为 $1/(k+1)-1/(k+2)$ 后相消；余项 $1/(n+2)>0$。

易错提醒： 有限和没有达到极限 $1/2$。