大学第3阶段数学知识讲解 · 微分方程组与平衡稳定性至整数规划与动态规划

返回分篇目录

知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 22 个知识点；配套 44 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

微分方程组与平衡稳定性

高阶方程可引入状态变量改写为一阶系统。常系数线性系统由矩阵指数描述，各特征方向的增长或衰减决定平衡稳定性。非线性系统在平衡点的 Jacobian 可提供局部信息，但存在实部为零的特征值时，线性化通常不能直接下结论。

关键关系与条件

$x^{\prime }=Ax$ 的解为 $x(t)=e^{At}x(0)$，$e^{At}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(At{)}^k/k!$。若 $A$ 全部特征值实部严格小于零，则零平衡渐近稳定；若某特征值实部为正，则不稳定。对光滑非线性系统，双曲平衡点可由线性化判断局部稳定性。

公式定位 · 练习与讲解

数值误差、条件数与稳定性

数值误差来自测量、截断和舍入。条件数描述问题对输入扰动的敏感程度，稳定性描述算法是否额外放大误差；一个稳定算法也不能消除问题本身的病态性。近似相等大数相减会损失有效数字，常可通过代数等价改写减轻。

关键关系与条件

绝对误差为 $|\hat{x}-x|$，相对误差为 $|\hat{x}-x|/|x|$（$x\ne 0$）。标量函数在非零输入输出附近的相对条件数为 $|x{f}^{\prime }(x)/f(x)|$。可逆矩阵的条件数 $\kappa (A)=\parallel A\parallel \parallel A^{-1}\parallel$（同一诱导范数）。

公式定位 · 练习与讲解

非线性求根：二分与 Newton 法

二分法保留连续函数异号区间，收敛可靠但速度较慢。Newton 法利用局部切线快速迭代，需要可计算导数且初值合适；可能跳出定义域、遇到零导数或不收敛。可靠计算常用区间保护配合快速局部迭代。

关键关系与条件

二分进行 $n$ 次后区间长度为 $(b-a)/2^n$，该区间中点误差不超过 $(b-a)/2^{n+1}$。Newton 迭代 $x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f^{\prime }(x_k)$ 要求当前导数非零；在简单根附近且函数足够光滑时通常二次收敛。

公式定位 · 练习与讲解

插值与逼近

插值要求曲线经过给定数据点，拟合则允许残差以减少总体误差。互异节点对应唯一的次数不超过 $n$ 的插值多项式。高次等距插值可能发生端点振荡，因此更多节点不保证处处更准确；分段低次插值和样条常更实用。

关键关系与条件

Lagrange 插值 $p_n(x)=\sum _{i=0}^n{y}_i{L}_i(x)$，$L_i(x)=\prod _{j\ne i}(x-x_j)/(x_i-x_j)$（节点互异）。若 $f\in C^{n+1}$，则误差 $f(x)-p_n(x)=f^{(n+1)}(\xi )\prod _{i=0}^n(x-x_i)/(n+1)!$，$\xi$ 在包含节点和 $x$ 的区间内。

公式定位 · 练习与讲解

数值积分与误差阶

数值积分用有限次函数值近似积分。梯形法用直线近似，Simpson 法用二次多项式近似；误差阶依赖函数的光滑性和步长。复合公式将区间等分后累加，Simpson 法要求子区间数为偶数。遇到奇点或剧烈变化应先调整分段。

关键关系与条件

单区间梯形值 $T=(b-a)[f(a)+f(b)]/2$；若 $f\in C^2$，误差 $I-T=-(b-a{)}^3{f}^{″}(\xi )/12$。Simpson 值 $S=(b-a)[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6$；若 $f\in C^4$，误差 $I-S=-(b-a{)}^5{f}^{(4)}(\xi )/2880$。

公式定位 · 练习与讲解

微分方程的数值解

数值常微分方程方法用离散步长推进状态。显式 Euler 使用当前斜率，简单但精度和稳定性有限；Runge–Kutta 在一步内多次取样斜率。减小步长通常降低截断误差，但稳定性还取决于方程及方法；刚性问题可能需要隐式方法。

关键关系与条件

对 $y^{\prime }=f(t,y)$，Euler 法为 $y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$。在适当光滑和 Lipschitz 条件下，其局部误差为 $O(h^2)$、固定区间全局误差为 $O(h)$。对测试方程 $y^{\prime }=\lambda y$，显式 Euler 衰减稳定条件为 $|1+h\lambda |<1$。

公式定位 · 练习与讲解

线性规划与可行域

线性规划在线性约束下优化线性目标。可行域是凸多面体，可能为空、无界或包含多个最优点。在二维有界非空多边形上，线性目标至少能在某顶点取得最优值；画图或枚举顶点前先确认可行性。无界可行域并不自动意味着目标无界。

关键关系与条件

标准最大化形式为 $max{c}^{T}x$，约束 $Ax\le b,x\ge 0$。若有界多面体非空，连续线性目标必取得最优值，且至少一个最优点是极点。判断目标无界需找到可行方向 $d$，满足 $Ad\le 0,d\ge 0,c^{T}d>0$（从某可行点出发）。

公式定位 · 练习与讲解

对偶、弱对偶与互补松弛

线性规划对偶为原问题提供界与最优性证书。原问题最大化、约束为不等式时，对偶常解释为资源影子价格。弱对偶只需两边可行；在有限维线性规划有有限最优解时，强对偶保证原对偶最优值相等。互补松弛连接约束余量与对偶变量。

关键关系与条件

原问题 $max{c}^{T}x:Ax\le b,x\ge 0$ 的对偶为 $min{b}^{T}y:A^{T}y\ge c,y\ge 0$。两边可行时 $c^{T}x\le b^{T}y$。最优可行对满足 $y_i(b_i-(Ax{)}_i)=0$、$x_j((A^{T}y{)}_j-c_j)=0$。

公式定位 · 练习与讲解

凸优化与梯度下降

凸函数在凸可行域上没有较差的局部极小值；可微凸函数的零梯度点是全局最小点。梯度下降沿负梯度更新，步长过大可能震荡或发散。凸性、光滑性和强凸性分别影响最优性与收敛速度，不能只凭迭代次数判断已收敛。

关键关系与条件

凸性定义为 $f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)$，$0\le t\le 1$。二阶连续可微函数在凸开域上凸，当且仅当 Hessian 半正定。梯度下降 $x_{k+1}=x_k-\eta \mathrm{\nabla }f(x_k)$；无约束函数定义在整个 ${\mathbb{R}}^n$、梯度为 $L$-Lipschitz 且 $L>0$ 时，可取 $0<\eta \le 1/L$ 获得标准下降保证。

公式定位 · 练习与讲解

网络流与割

网络流在有向图容量约束下把物资从源点送到汇点，中间节点满足流量守恒。残量网络不仅包含未用容量，还包含允许撤回已有流量的反向边。最大流最小割定理给出可验证的最优性证书，不能把所有边容量简单相加当成可送总量。

关键关系与条件

每边满足 $0\le f(u,v)\le c(u,v)$，内部顶点流入和等于流出和。源汇割 $(S,V\setminus S)$ 的容量为 $\sum _{u\in S,v\notin S}c(u,v)$。任意流量不超过任意割容量；最大流值等于最小割容量。

公式定位 · 练习与讲解

整数规划与动态规划

整数约束使线性规划的连续最优解可能无法使用，直接四舍五入也可能破坏约束或最优性。动态规划依赖可分阶段、状态包含未来所需信息及最优子结构。背包问题中的状态应区分可用物品数量和剩余容量，避免一件物品被重复选择。

关键关系与条件

0–1 背包：$max\sum _i{v}_i{x}_i$，约束 $\sum _i{w}_i{x}_i\le W,x_i\in \{0,1\}$。定义 $F(i,c)$ 为前 $i$ 件物品容量 $c$ 的最优值；若 $w_i\le c$，则 $F(i,c)=max\{F(i-1,c),F(i-1,c-w_i)+v_i\}$，否则只能不选。

公式定位 · 练习与讲解