高一数学知识讲解 · 正弦、余弦与正切图象至复数、共轭与复平面

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先把集合、逻辑和函数语言建立起来，再系统学习幂函数、指数与对数、三角函数、向量和复数。这里给出通用建议顺序，课程安排可能跨年级；每次变形都要跟踪定义域。

正弦、余弦与正切图象

正弦与余弦的振幅为 $1$、周期为 $2\pi$，正切在各连续区间上递增且周期为 $\pi$。一般正弦函数的振幅由外部系数绝对值决定，周期由自变量系数决定，相位平移要先提出该系数。图象的最大最小值还受竖直平移影响。

公式与条件： $y=A\sin (\omega x+\phi )+d$，$A\ne 0,\omega \ne 0$：振幅 $|A|$，最小正周期 $T=2\pi /|\omega |$，值域 $[d-|A|,d+|A|]$。正切周期 $\pi$，定义域排除渐近线。

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同角关系、诱导公式与化简

单位圆方程给出平方关系；关于坐标轴或原点的对称给出诱导公式。用已知三角值求其他值时，平方关系只能确定绝对值，象限条件决定符号。化简分式时也要保留原分母不为零的限制。

公式与条件： ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$；$1+{\tan }^{2}x=1/{\cos }^{2}x$，后式要求 $\cos x\ne 0$。$\sin (-x)=-\sin x,\cos (-x)=\cos x$；$\sin (\pi -x)=\sin x,\cos (\pi -x)=-\cos x$；$\sin (x+\pi )=-\sin x$。

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和差角、倍角与三角恒等变换

和差角公式把复合角拆成已知角，也可反向把复杂式子合成一个角。倍角公式由令两个角相同得到，余弦倍角的三个形式适合不同已知条件。变换时保持两边在共同定义域内，尤其是正切公式分母可能为零。

公式与条件： $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$；$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$。$\sin 2x=2\sin x\cos x$；$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1$。$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$，各正切及分母均须有定义。

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正弦定理、余弦定理与三角形面积

边 $a,b,c$ 分别对应角 $A,B,C$。已知两边夹角时常用余弦定理，已知一边及其对角可用正弦定理。已知两边和其中一边对角时，正弦值可能对应两个角，需要检查角和与边长关系，不能默认唯一三角形。

公式与条件： $a/\sin A=b/\sin B=c/\sin C=2R$，$R$ 为外接圆半径。$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。$S=\frac{1}{2}ab\sin C$。要求为非退化三角形，$A,B,C\in (0,\pi )$，和为 $\pi$。

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平面向量、坐标与线性运算

向量同时含大小与方向，与放置位置无关；向量相等要求大小方向都相同。加法按首尾相接，减法转为加相反向量。坐标运算逐分量进行。平行向量可用数量倍关系或二维行列式为零判断；零向量可参与代数运算，但没有确定方向。

公式与条件： $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$。$(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,a_2+b_2)$；$\lambda \mathbf{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2)$。非零向量平行当且仅当 $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$。

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图示取 $\mathbf{u}=(2,1),\mathbf{v}=(1,2)$，和向量为 $(3,3)$。两条不同路径首尾相接都到达同一终点。

数量积、夹角与投影

向量数量积是一个数，既可由长度和夹角计算，也可由坐标逐项乘后相加。对非零向量，数量积为零等价于垂直；为正表示夹角小于 $\pi /2$（包括同向时的 $0$），为负表示夹角大于 $\pi /2$（包括反向时的 $\pi$）。投影有正负方向，投影长度与有向投影值不要混用。

公式与条件： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta =a_1{b}_1+a_2{b}_2$。非零向量 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$，$0\le \theta \le \pi$。$\mathbf{a}$ 在非零 $\mathbf{b}$ 方向上的投影值为 $(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})/|\mathbf{b}|$。

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复数、共轭与复平面

引入 $i^2=-1$ 后，复数写为 $a+bi$，实部是 $a$，虚部是实数 $b$。复平面把复数对应点 $(a,b)$，模表示到原点距离。共轭数改变虚部符号；除法乘分母共轭可把分母化成实数，要求原分母非零。

公式与条件： $i^2=-1$；$\bar{z}=a-bi$；$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$；$z\bar{z}=|z{|}^2$。$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$，要求 $c^2+d^2>0$。复数没有与实数兼容的通常大小顺序。

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图中 $z=1+i$ 对应点 $(1,1)$，模为 $\sqrt{2}$，与正实轴的夹角为 $\pi /4$。本题区分复数、坐标与模这三种表述。