高等数学与离散数学学习笔记 · 数学中方程分类

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本页定位为2023年旧学习笔记与专题导航：保留具体组合、概率、导数和方程例题；没有输入的题型改为现有练习入口。保留原笔记的主题与旧地址，已纠正生日概率、特征值表述、方程答案和损坏的公式。系统学习请进入大学数学路线，逐年级习题与答案已独立整理。

数学中方程分类

1. 一元一次方程：形如 $ax+b=0$，其中 $a,b$ 为常数且 $a\ne 0$，$x$ 为未知数。
2. 一元二次方程：形如 $a{x}^2+bx+c=0$，其中 $a,b,c$ 为常数且 $a\ne 0$，$x$ 为未知数。
3. 一元三次方程：形如 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$，其中 $a,b,c,d$ 为常数且 $a\ne 0$，$x$ 为未知数。
4. 一元 $n$ 次方程：$n$ 为正整数且 $a_n\ne 0$，形如 $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$，其中 $a_0,a_1,\dots ,a_n$ 为常数，$x$ 为未知数。
5. 二元一次方程组：形如 $\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ dx+ey=f\end{array}$，其中 $a,b,c,d,e,f$ 为常数，$x,y$ 为未知数。
6. 二元二次方程组：一般式见下方“二元”，允许 $xy$ 交叉项；各方程次数不超过2，至少一个方程为二次，也允许另一个方程为一次。仅列 $x^2,y^2$ 而省略 $xy$ 不能代表全部情形。
7. 高次方程组：形如 $f_1(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0,f_2(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0,\dots ,f_m(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0$，其中 $f_1,f_2,\dots ,f_m$ 是 $n$ 个未知数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 的多项式。

除了上述常见的方程式外，还有一些特殊的方程式，如三角方程、指数方程、对数方程、差分方程等。不同类型的方程式有不同的解法和性质，需要根据具体情况来选择相应的方法和技巧

一元

以下一次、二次、三次和 $n$ 次方程均要求最高次项系数非零；否则次数降低。

• 一元一次方程是指形如 $ax+b=0$ 的方程，其中 $a$ 和 $b$ 为常数，$x$ 为未知数
• 一元二次方程是指形如 $a{x}^2+bx+c=0$ 的方程，其中 $a,b,c$ 为常数，$x$ 为未知数。
• 一元三次方程是指形如 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ 的方程，其中 $a,b,c,d$ 为常数，$x$ 为未知数
• 一元多次方程是指形如 $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$ 的方程，其中 $a_0,a_1,\dots ,a_n$ 为常数，$x$ 为未知数，$n$ 为方程的次数

  下面分别给出一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程和一元多次方程的一个例子以及其解答：

1. 解一元一次方程 $2x+3=7$。

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   解：将方程中的常数项 $3$ 移到等号的右侧，得到 $2x=4$，再将系数 $2$ 除到 $x$ 的左侧，得到 $x=2$。因此，方程的解为 $x=2$。

2. 解一元二次方程 $x^2-4x+3=0$。

   查看答案与讲解

   解：使用求根公式，将 $a=1,b=-4,c=3$ 代入，得到：

   $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{4\pm \sqrt{16-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}=1,3$$

   因此，方程的解为 $x=1$ 或 $x=3$。

3. 解一元三次方程 $x^3+2x^2-x-2=0$。

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   解：观察方程的系数，发现 $x=1$ 是一个根。因此，可以通过带余除法将 $x-1$ 除掉，得到：

   $$x^3+2x^2-x-2=(x-1)(x^2+3x+2)=0$$

   这是一个二次方程，可以使用求根公式求解，得到 $x=-1$ 和 $x=-2$。因此，方程的解为 $x=1$，$x=-1$ 或 $x=-2$。

4. 解一元四次方程 $x^4+x^3-6x^2-7x+10=0$。

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   解：本例使用数值近似。实根约为 $0.9181178372$、$2.2151632437$；另两根为共轭复根 $-2.0666405405\pm 0.8037085311i$。这些是近似值，代回会有舍入残差；不能把未完成的因式分解当作解答。

二元

二元一次方程每一行的两个未知数系数不能同时为零；二元二次方程组中至少一个方程的 $x^2,y^2,xy$ 系数不全为零，另一个可以是一次方程。每个方程均须含未知数，纯常数等式应单独作为恒等或矛盾条件处理。

• 二元一次方程组是由两个一次方程组成的方程组，其一般形式为： a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂

其中，a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂ 为已知常数，x、y 为未知数。

• 二元二次方程组由次数不超过2、且至少一个为二次的方程组成，其一般形式为： a₁x² + b₁y² + c₁xy + d₁x + e₁y + f₁ = 0 a₂x² + b₂y² + c₂xy + d₂x + e₂y + f₂ = 0

其中，a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂、d₁、d₂、e₁、e₂、f₁、f₂ 为已知常数，x、y 为未知数。

• 二元一次方程组和二元二次方程组都是数学中常见的方程组，求解这些方程组可以应用代数、几何和矩阵等不同的方法。

对于具体的题目和答案，需要根据题目给出的具体条件进行求解

• 经典题目 【例题 1】已知方程组： 2x + y = 5 3x - y = 1 求解方程组的解。

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【解答】两式直接相加得到 $5x=6$，故 $x=6/5$；代回第一式得 $y=5-12/5=13/5$。验证：$3(6/5)-13/5=1$，两式同时成立。

二元二次方程组的经典题目：

【例题 2】已知方程组： x² + y² = 25 x + y = 7 求解方程组的解。

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【解答】将第二个方程改写为 y=7-x，代入第一个方程可得 x²+(7-x)²=25，化简可得 2x²-14x+24=0，除以2得 $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)=0$，所以 $x=3$ 或 $x=4$。由 $y=7-x$ 得解 $(3,4)$ 或 $(4,3)$，代回平方和均为25。

• 解题方法

1. 相减法：将两个方程中同一变量系数相等的项相减，得到关于一个未知数的方程，先求解并检查等价变形，再代回原方程组核验。
2. 代入法：将一个方程中的一个未知数表示成另一个未知数的函数，再代入另一个方程，得到只包含一个未知数的一次方程，从而求出这个未知数的值，再代入其中一个方程求另一个未知数的值。
3. 加法消元：必要时分别乘非零常数，使同一未知数的系数互为相反数，再将两式相加消去它。若消元得到恒等式或矛盾式，应据此判断有无解及解是否唯一，不能继续除以零。

二元二次方程组解题方法：

1. 消元法：在可行的分支上把一个未知数表示成另一个未知数，再代入得到一元方程，其次数可能高于二次。根据所得方程选择因式分解、求根公式或数值方法；开方、除法造成的分支与限制必须保留，候选解全部代回原方程组。
2. 分离求解：若方程恰好互不耦合，例如 $x^2+bx+c=0$ 与 $y^2+dy+e=0$，可分别求根并组合。这只是特殊情形；一般二元二次方程含 $xy$ 等项，不能直接分成两个一元二次方程。
3. 画图法：将两个方程所表示的曲线在平面直角坐标系中画出来，其交点即为方程组的解