大学第1阶段数学习题集 · 原函数与不定积分至向量空间、基与维数

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知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 20 个知识点；配套 40 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

原函数与不定积分

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题 21

求 ${\displaystyle \int (3x^2-2x+1)\mathrm{d}x}$，并验算。

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逐项积分得 $x^3-x^2+x+C$。求导得到 $3x^2-2x+1$，与被积函数相同。易错：所有项合并后只需一个任意常数，但不能完全遗漏它。

题 22

在区间 $(-\mathrm{\infty },0)$ 求 ${\displaystyle \int 2/x\mathrm{d}x}$；再求 ${\displaystyle \int \mathrm{d}x/(1+4x^2)}$。

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答案为 $2\ln |x|+C$，在负半轴也可写为 $2\ln (-x)+C$。其导数 $2(-1)/(-x)=2/x$。第二问令 $u=2x$，得 $\frac{1}{2}\arctan (2x)+C$，求导为 $1/(1+4x^2)$。易错：直接写 $\ln x$ 在负半轴没有实数意义。

换元与分部积分

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题 23

求 ${\displaystyle \int 2x\cos (x^2)\mathrm{d}x}$。

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令 $u=x^2$，则 $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$，积分为 $\sin u+C=\sin (x^2)+C$。易错：换元时必须替换整个微分因子，不能只把括号内改名。

题 24

计算 ${\displaystyle {\int }_0^{1}x{e}^x\mathrm{d}x}$。

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取 $u=x$、$\mathrm{d}v=e^x\mathrm{d}x$，得 $[x{e}^x{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^x\mathrm{d}x=e-(e-1)=1$。易错：边界项和剩余定积分都要代入上下限。

定积分与微积分基本定理

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题 25

计算 ${\displaystyle {\int }_{-1}^1{x}^3\mathrm{d}x}$，并解释结果。

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原函数为 $x^4/4$，上下限相减为 $0$；也可由奇函数在对称区间积分为零得到。左右两侧有符号面积抵消。易错：积分为零不代表几何面积为零。

题 26

求 $G(x)={\displaystyle {\int }_0^{x^2}\cos t\mathrm{d}t}$ 的导数。

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先对上限求导，再乘上限函数的导数，得 $G^{\prime }(x)=\cos (x^2)\cdot 2x$。也可先积分为 $\sin (x^2)$ 后求导。易错：不能漏掉 $2x$。

积分的几何与物理应用

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题 27

求 $y=x$ 与 $y=x^2$ 在 $[0,1]$ 围成的面积。

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该区间 $x\ge x^2$，故面积 ${\int }_0^1(x-x^2)\mathrm{d}x=1/2-1/3=1/6$。易错：应先判断哪条曲线在上方；曲线交叉时要分段。

题 28

把 $0\le x\le 1$、$0\le y\le x$ 的区域绕横轴旋转，求体积。

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截面为半径 $R=x$ 的圆盘，面积 $\pi x^2$，故 $V=\pi {\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x=\pi /3$。易错：体积微元使用半径平方，不能把面积公式直接乘 $\pi$。

反常积分与收敛判别

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题 29

计算 ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{x}^{-2}\mathrm{d}x}$，说明收敛性。

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截断积分 ${\int }_1^R{x}^{-2}\mathrm{d}x=1-1/R$，令 $R\to \mathrm{\infty }$ 得 $1$，故收敛。易错：无穷大不是可以直接代入函数的普通数，应写清极限。

题 30

通常意义下 ${\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{1}{x}\mathrm{d}x}$ 是否收敛？

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必须分为 ${\int }_{-1}^0$ 和 ${\int }_0^1$。右侧极限为正无穷，左侧为负无穷，均不有限，因此反常积分发散。对称截断的主值虽为零，却不代表通常积分收敛。易错：不能用奇函数对称性抵消两个发散积分。

矩阵运算与线性表示

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题 31

设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$、$v=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$，求 $Av$。

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按行与列的内积计算：第一分量 $1\cdot 3+2\cdot 4=11$，第二分量 $0\cdot 3+1\cdot 4=4$，故 $Av=(11,4{)}^T$。易错：矩阵乘向量不是逐位置相乘。

题 32

取 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$、$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$，比较 $AB$ 与 $BA$。

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逐项计算得 $AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$，$BA=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$，两者不同。易错：数的乘法交换律不能直接搬到矩阵上。

行列式与可逆性判据

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题 33

求 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)$ 的行列式并判断可逆性。

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$detA=2\cdot 4-1\cdot 3=5\ne 0$，所以可逆。几何上有向面积缩放倍数为 $5$。易错：二阶行列式是交叉乘积相减，不是相加。

题 34

三阶矩阵 $A$ 的行列式为 $2$。将其第一行乘 $3$，再交换第二、三行，所得矩阵行列式是多少？

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第一步使行列式变为 $6$，第二步变号，故结果为 $-6$。易错：只把一行乘 $3$ 与整个三阶矩阵乘 $3$ 不同，后者会乘 $27$。

逆矩阵与线性方程组

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题 35

求 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ 的逆矩阵。

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行列式为 $2-1=1$，故 $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$。相乘得到对角为 $1$、非对角为 $0$，即单位矩阵。易错：不仅交换对角元，还须改变两个非对角元的符号。

题 36

解方程组 $2x+y=5$、$x+y=3$。

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系数矩阵正是上一类可逆矩阵。两式相减得 $x=2$，代入第二式得 $y=1$；代回两式均成立。也可用逆矩阵乘 $(5,3{)}^T$。易错：验证解应代回原方程组而非仅代回变形后的某一式。

消元、秩与解的结构

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题 37

解 $x+y+z=2$、$2x+2y+2z=4$，说明秩与自由变量数。

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第二行减第一行的两倍得到零行，系数秩与增广秩都为 $1$。设 $y=s,z=t$，得 $(x,y,z)=(2-s-t,s,t)$，有两个自由变量。易错：方程有两条不等于秩为二，需检查独立性。

题 38

判断 $x+y=1$、$2x+2y=3$ 是否有解。

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第二式减第一式的两倍得到 $0=1$，矛盾。系数秩为 $1$，增广秩为 $2$，故无解。易错：系数成比例但常数不成同样比例时，方程互相冲突。

向量空间、基与维数

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题 39

求平面 $W=\{(x,y,z):x+y+z=0\}$ 的一组基与维数。

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令 $y=s,z=t$，则向量为 $s(-1,1,0)+t(-1,0,1)$。这两个向量线性无关且张成 $W$，所以它们是一组基，维数为 $2$。易错：嵌在三维空间中的子空间不必具有三维。

题 40

在基 $B=((1,1),(1,-1))$ 下求向量 $(4,2)$ 的坐标。

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设 $(4,2)=a(1,1)+b(1,-1)$，则 $a+b=4,a-b=2$，得 $a=3,b=1$。故坐标为 $(3,1{)}^T$。易错：标准坐标 $(4,2)$ 与新基坐标不同。