程序员数学 08：向量、矩阵与坐标变换

向量可以表示位置、速度，也可以是一组按固定顺序排列的特征。相同长度不代表可以直接比较：两个分量的含义、单位和坐标系必须对应。

向量运算先保留几何含义

位置 $p=(2,1)$，位移 $d=(3,-2)$，新位置为 $p+d=(5,-1)$。把位移乘以 2 得到 $(6,-4)$，方向相同、长度加倍。

二维向量 $v=(x,y)$ 的欧几里得长度为 $\parallel v\parallel =\sqrt{x^2+y^2}$。例如 $(3,4)$ 的长度为 5。只有各坐标的尺度适合使用这个距离时，几何解释才合理。

如果特征是“文件大小（字节）、错误次数”，直接用欧几里得距离会让大数值维度支配结果。需要按任务选择单位转换、归一化或权重，而不是把所有数组都当作同一种几何空间。

点积衡量方向关系

$$u\cdot v=\sum _i{u}_i{v}_i,\cos \theta =\frac{u\cdot v}{\parallel u\parallel \parallel v\parallel }.$$

设 $u=(1,0)$，$v=(1,1)$，点积为 1，长度分别为 1 和 $\sqrt{2}$，余弦值为 $1/\sqrt{2}$。若点积为 0 且向量非零，表示正交。

余弦公式要求两个向量都非零。向量全为 0 时，分母为 0，应定义业务处理方式，而不是让 NaN 混进排序。余弦比较关注方向，无法替代对大小本身有意义的比较。

矩阵表示线性变换

采用列向量约定，矩阵

$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$$

把 $(x,y)$ 映射为 $(2x+y,y)$。对 $(2,1)$，结果为 $(5,1)$。

const matrix = [[2, 1], [0, 1]];
const point = [2, 1];
const transformed = matrix.map(row => row[0] * point[0] + row[1] * point[1]);
console.log(transformed); // [5, 1]

一般地，$m\times n$ 矩阵乘以 $n$ 维列向量得到 $m$ 维列向量。写矩阵乘法前先检查内侧维度是否一致。

变换顺序通常不能交换

设 $S$ 把横坐标放大两倍，$R$ 把平面逆时针旋转 90°。点 $(1,0)$ 先经 $S$ 再经 $R$ 得到 $(0,2)$；先经 $R$ 再经 $S$ 得到 $(0,1)$，因此 $RS\ne SR$。

列向量约定下，$RSv$ 是先应用右边的 $S$，再应用 $R$。图形库若采用另一种向量或矩阵约定，代码里的乘法顺序应以该库为准。

普通二维线性变换必须把原点映射到原点，所以“整体平移 3 个单位”不能只靠一个普通 $2\times 2$ 矩阵表达。可以写成仿射变换 $Av+b$，或使用齐次坐标；先理解为何需要额外项，再学习更大的矩阵。

练习

1. $(3,4)$ 归一化后的单位向量是什么？
2. $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$ 乘以列向量 $(2,1)$ 得到什么？
3. 零向量能直接代入余弦相似度公式吗？

查看答案与讲解

1. 除以长度 5，得到 $(3/5,4/5)$，长度为 1。
2. 第一分量 $1\times 2+2\times 1=4$，第二分量 $3\times 2+4\times 1=10$，得到 $(4,10)$。
3. 不能，分母为 0。可按业务拒绝、跳过或单独定义其相似度，但应明确约定，不能当成公式自然给出的结果。

资料与延伸

MIT 18.06 线性代数 提供从线性方程组到向量空间和特征值的完整课程。本篇只建立向量与变换直觉；线性回归、最小二乘和降维需要继续补充矩阵秩、投影等概念。