八年级数学公式速查

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每个专题与知识讲解、习题使用相同编号。先检查条件，再代入公式；数值计算与几何作图统一单位。

平方根、立方根与实数

$x^2=a(a>0)\Rightarrow x=\pm \sqrt{a}$；$\sqrt{a^2}=|a|$。$\sqrt[3]{a^3}=a$ 对全部实数成立。实数包括有理数和无理数。

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二次根式化简与运算

$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a,b\ge 0)$；$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\ge 0,b>0)$。$\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}(a>0)$。通常 $\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$。

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整数指数幂

$a^m{a}^n=a^{m+n}$；$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$；$(a^m{)}^n=a^{mn}$。整数指数统一使用时取 $a\ne 0$。$a^0=1$，$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(n>0)$；$0^0$ 本版不定义。

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整式乘除与多项式展开

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。$\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}(c\ne 0)$；不能把 $\frac{a}{b+c}$ 拆为 $\frac{a}{b}+\frac{a}{c}$。

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平方差与完全平方公式

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$；$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$。适用于实数及相应代数式。

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因式分解

$ab+ac=a(b+c)$；$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$；$a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2$。$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$。

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分式的意义、约分与通分

$\frac{AC}{BC}=\frac{A}{B}$，要求 $B\ne 0,C\ne 0$。$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{AD+BC}{BD}$，要求 $B,D\ne 0$。$\frac{A}{B}=0⟺A=0\text{ 且 }B\ne 0$。

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分式方程与增根检验

解 $\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{C(x)}{D(x)}$ 时，须有 $B(x)D(x)\ne 0$；在此条件下可等价化为 $A(x)D(x)=C(x)B(x)$。

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二元一次方程组

对 $a_{1}x+b_{1}y=c_1,a_{2}x+b_{2}y=c_2$，若 $a_1{b}_2-a_2{b}_1\ne 0$，则有唯一解；行列式为零时需判断矛盾或重合，不能直接除零。

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一元一次不等式

$a<b\Rightarrow a+c<b+c$；若 $c>0$，则 $ac<bc$；若 $c<0$，则 $ac>bc$。含未知符号的除数须分类，不能直接按正数处理。

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不等式组与区间交集

$x>a$ 且 $x<b$ 的解为 $a<x<b$，仅当 $a<b$ 时非空。$x\ge a$ 且 $x\ge b⟺x\ge max(a,b)$。端点是否包含取决于每一条限制。

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一次函数的图象与性质

$y=kx+b$，一次函数要求 $k\ne 0$；$b=0$ 时为正比例函数。两点确定的斜率 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，要求 $x_1\ne x_2$。与 $x$ 轴交点为 $(-b/k,0)$。

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一次函数与实际方案比较

两方案差值 $y_1-y_2=(k_1-k_2)x+(b_1-b_2)$。当 $k_1\ne k_2$ 时交点横坐标 $x=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}$；须检查该点是否在实际定义域。

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三角形全等与对应关系

判定：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形可用 HL。若 $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$，字母顺序表示 $A\leftrightarrow D,B\leftrightarrow E,C\leftrightarrow F$。

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等腰三角形与垂直平分线

$AB=AC\Rightarrow \mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C$。若顶角为 $A$，两底角各为 $\frac{{180}^{\circ }-A}{2}$。$PA=PB⟺P$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，要求 $A\ne B$。 对 $0^{\circ }<\mathrm{\angle }AOB<{180}^{\circ }$ 内部的点 $P$，设 $M,N$ 分别是它到两边所在直线的垂足，即 $M\in OA,N\in OB$（这里指所在直线）、$PM\perp OA,PN\perp OB$，则 $P$ 在角平分线上 $⟺PM=PN$（距离取到两边所在直线的垂距）。

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勾股定理与逆定理

若 $\mathrm{\angle }C={90}^{\circ }$，则 $c^2=a^2+b^2$。反之，正边长满足 $c^2=a^2+b^2$，则 $c$ 所对角是直角。坐标距离 $PQ=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$。

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平行四边形、矩形、菱形与正方形

平行四边形 $S=ah$，$h$ 是对应底 $a$ 的高。矩形 $S=ab$，对角线 $d=\sqrt{a^2+b^2}$。菱形 $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$。正方形 $S=a^2,d=\sqrt{2}a$，边长均取正。 三角形 $ABC$ 中，$D,E$ 分别为 $AB,AC$ 中点，则 $DE\parallel BC,DE=BC/2$。各特殊四边形的附加判定都须保留其前提。

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加权平均数与方差

$\overline{x}=\frac{\sum f_i{x}_i}{\sum f_i}$，$f_i\ge 0,\sum f_i>0$。本节总体型方差 $s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$。这是分母 $n$ 的描述统计量，不与大学的无偏样本方差混用。

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