大学第2阶段数学习题集 · 数项级数与收敛判别至连续分布与密度

返回分篇目录

知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 24 个知识点；配套 48 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

数项级数与收敛判别

知识回顾 · 公式速查

题 19

求 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1/3{)}^n$ 的和。

查看答案与讲解

这是首项 $1$、公比 $1/3$ 的几何级数，公比绝对值小于 $1$，和为 $1/(1-1/3)=3/2$。易错：从 $n=0$ 起首项是 $1$。

题 20

判断 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}/n$ 是绝对收敛还是条件收敛；再用根值判别判断 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[(n+1)/(2n){]}^n$。

查看答案与讲解

$1/n$ 单调趋零，因此交错级数收敛；绝对值级数 $\sum 1/n$ 是发散的调和级数，故为条件收敛。第二个级数通项的 $n$ 次方根为 $(n+1)/(2n)\to 1/2<1$，因此绝对收敛。易错：通项趋零不足以证明绝对值级数收敛。

幂级数、收敛半径与逐项运算

知识回顾 · 公式速查

题 21

求 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^n/n$ 的收敛区间。

查看答案与讲解

比值判别在 $|x|<1$ 收敛、$|x|>1$ 发散。$x=1$ 为调和级数发散，$x=-1$ 为交错调和级数收敛，故区间为 $[-1,1)$。易错：半径只给内部与外部，不决定端点。

题 22

对 $|x|<1$，计算 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^{n-1}$。

查看答案与讲解

在收敛半径内对几何级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1/(1-x)$ 逐项求导，得到 $1/(1-x{)}^2$。易错：不能把所得公式未经检查延伸到 $x=\pm 1$。

特征值、特征向量与谱

知识回顾 · 公式速查

题 23

求 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$ 的特征值及对应特征向量。

查看答案与讲解

特征多项式为 $(2-\lambda )(3-\lambda )$，特征值为 $2,3$。$\lambda =2$ 时 $y=0$，可取 $(1,0{)}^T$；$\lambda =3$ 时 $y=x$，可取 $(1,1{)}^T$。易错：每个特征空间中应选非零向量。

题 24

矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,4$，求迹、行列式及 $A^2$ 的特征值。

查看答案与讲解

迹为 $1+2+4=7$，行列式为 $1\cdot 2\cdot 4=8$。由 $A^{2}v={\lambda }^{2}v$，平方矩阵特征值为 $1,4,16$。易错：矩阵平方的特征值应逐个平方，不能把特征值总和平方。

相似对角化与矩阵幂

知识回顾 · 公式速查

题 25

判断 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 是否可对角化。

查看答案与讲解

唯一特征值为 $1$，代数重数二。$(A-I)v=0$ 要求第二分量为零，特征空间只有一维，不能提供两个独立特征向量，所以不可对角化。易错：拥有两个计重特征值不等于拥有两个独立特征向量。

题 26

已知 $A=P\mathrm{diag}(2,3)P^{-1}$，写出 $A^5$，并说明理由。

查看答案与讲解

相邻乘积中的 $P^{-1}P$ 抵消，因此 $A^5=P\mathrm{diag}(2^5,3^5)P^{-1}=P\mathrm{diag}(32,243)P^{-1}$。易错：不能对矩阵每个元素分别取五次方。

内积、正交投影与 Gram–Schmidt

知识回顾 · 公式速查

题 27

将 $v=(3,1)$ 投影到 $u=(1,1)$ 张成的直线上。

查看答案与讲解

系数 $(u^{T}v)/(u^{T}u)=4/2=2$，投影为 $(2,2)$。余量 $(1,-1)$ 与 $u$ 点积为零。易错：分母是 $u$ 长度的平方。

题 28

对 $v_1=(1,0),v_2=(1,1)$ 做 Gram–Schmidt 并归一化。

查看答案与讲解

第一单位向量 $q_1=(1,0)$。第二向量扣投影：$v_2-(v_2\cdot q_1)q_1=(0,1)$，本身长度为 $1$，故 $q_2=(0,1)$。易错：第二步要从原第二向量扣除已有方向的全部投影。

实对称谱定理与二次型

知识回顾 · 公式速查

题 29

判断二次型 $2x^2+2xy+2y^2$ 是否正定。

查看答案与讲解

对称矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$，顺序主子式为 $2,3$，均正，所以正定。也可写成 $(x+y{)}^2+x^2+y^2$，非零点取正。易错：交叉项系数 $2$ 要均分到两个非对角位置。

题 30

矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 的二次型是否有固定符号？

查看答案与讲解

二次型为 $2xy$。取 $(1,1)$ 得 $2$，取 $(1,-1)$ 得 $-2$，所以不定；其特征值为 $1,-1$。易错：对角元非负或为零不能单独决定正定性。

最小二乘与线性拟合

知识回顾 · 公式速查

题 31

用一个常数 $c$ 最小二乘拟合观测 $1,2,6$，求 $c$。

查看答案与讲解

目标为 $(1-c{)}^2+(2-c{)}^2+(6-c{)}^2$，导数为 $6c-18$，零点 $c=3$；二阶导数 $6>0$，故唯一最小。易错：平方损失的最优常数是均值，不是中位数。

题 32

用 $y=a+bt$ 拟合点 $(0,1),(1,2),(2,2)$，求 $a,b$。

查看答案与讲解

正规方程为 $3a+3b=5$、$3a+5b=6$。相减得 $b=1/2$，再得 $a=7/6$。三条残差为 $-1/6,1/3,-1/6$，和及对时间加权和均为零。易错：三点不共线时不能要求三式同时精确成立。

概率空间与事件运算

知识回顾 · 公式速查

题 33

掷一枚均匀骰子，求“点数为偶数或大于 4”的概率。

查看答案与讲解

偶数事件为 $\{2,4,6\}$，大于 $4$ 为 $\{5,6\}$，交集为 $\{6\}$。概率 $3/6+2/6-1/6=2/3$。易错：重叠结果 $6$ 不能重复计数。

题 34

从 5 个红球、3 个蓝球中无放回等可能取 2 球，求全红概率。

查看答案与讲解

总组合数 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2})=28$，全红组合数 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=10$，概率为 $10/28=5/14$。也可算 $(5/8)(4/7)$。易错：无放回第二次的分母与红球数都改变。

条件概率、独立与 Bayes 公式

知识回顾 · 公式速查

题 35

某产品次品率 $1\mathrm{\%}$，检测次品报阳性的概率为 $90\mathrm{\%}$，合格品误报阳性的概率为 $5\mathrm{\%}$。报阳性后为次品的概率是多少？

查看答案与讲解

阳性概率 $0.01\times 0.9+0.99\times 0.05=0.0585$。Bayes 公式给出 $0.009/0.0585=2/13\approx 15.38\mathrm{\%}$。易错：$P(\mathrm{阳}\mathrm{性}\mid \mathrm{次}\mathrm{品})$ 与 $P(\mathrm{次}\mathrm{品}\mid \mathrm{阳}\mathrm{性})$ 方向相反。

题 36

两事件 $P(A)=P(B)=1/2$ 且互斥，判断是否独立。

查看答案与讲解

互斥意味着交集概率为 $0$，而概率乘积为 $1/4$，二者不同，所以不独立。实际上知道 $A$ 发生就确定 $B$ 不发生。易错：概率均为正的互斥事件不可能独立。

离散分布：二项与 Poisson

知识回顾 · 公式速查

题 37

独立投掷 3 次均匀硬币，恰有 2 次正面的概率是多少？

查看答案与讲解

正面数服从 $\mathrm{Bin}(3,1/2)$，概率为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})(1/2{)}^2(1/2)=3/8$。易错：需计入两次正面出现的三种位置排列。

题 38

每分钟到达次数服从均值为 2 的 Poisson 分布，求一分钟内无人到达的概率。

查看答案与讲解

参数 $\lambda =2$，取 $k=0$ 得 $P(Y=0)=e^{-2}{2}^0/0!=e^{-2}\approx 0.1353$。易错：参数必须与题目使用的时间长度一致。

连续分布与密度

知识回顾 · 公式速查

题 39

（1）设 $X$ 在 $[2,6]$ 均匀分布，求 $P(3<X<5)$。（2）设 $(U,V)$ 的联合密度在 $0<u<v<1$ 上为 $2$，其他处为零，求 $f_U(u)$、$f_{V\mid U}(v\mid u)$，并判断是否独立。

查看答案与讲解

密度为 $1/(6-2)=1/4$，目标区间长度为 $2$，概率 $2/4=1/2$。端点是否包含不改变连续分布概率。第二问积分得 $f_U(u)={\int }_u^{1}2\mathrm{d}v=2(1-u)$（$0<u<1$，其他处为零）；条件密度为 $1/(1-u)$（$u<v<1$，其他处为零）。另有 $f_V(v)=2v$（$0<v<1$），边缘乘积在 $u>v$ 的单位方形部分为正，而联合密度为零，故不独立。易错：联合密度的积分范围由支持区域决定。

题 40

等待时间 $T$ 服从速率 $\lambda =1/2$ 的指数分布。求 $P(T>4)$ 与 $P(T>6\mid T>2)$。

查看答案与讲解

第一项为 $e^{-(1/2)4}=e^{-2}$。条件概率为 $P(T>6)/P(T>2)=e^{-3}/e^{-1}=e^{-2}$，体现无记忆性。易错：速率 $1/2$ 对应均值 $2$，两者不是同一个参数。