大学第4阶段数学习题集 · 复数、复平面与指数表示至测度、Lebesgue 积分与控制收敛

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知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 22 个知识点；配套 44 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

大学第4阶段数学习题集

知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 22 个知识点；配套 44 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

先独立列出条件和解题步骤，再展开答案。基础计算题用于检查概念，辨析与证明题用于检查条件；每题解答均默认关闭。两题覆盖的是本版入门目标，不能代替整门课程的题量。

知识点 → 题号对照

编号	知识点	题号
u4-01	复数、复平面与指数表示	1、2
u4-02	复可微与 Cauchy–Riemann 条件	3、4
u4-03	复积分与 Cauchy 积分公式	5、6
u4-04	Laurent 级数、留数与孤立奇点	7、8
u4-05	Fourier 级数与 Fourier 变换	9、10
u4-06	Laplace 变换与初值系统	11、12
u4-07	实分析：完备性与严格极限	13、14
u4-08	逐点收敛与一致收敛	15、16
u4-09	测度、Lebesgue 积分与控制收敛	17、18
u4-10	度量空间、开集与连续映射	19、20
u4-11	紧致性与连通性	21、22
u4-12	群、子群与同态	23、24
u4-13	环、域与模运算	25、26
u4-14	Hilbert 空间与算子入门	27、28
u4-15	离散时间 Markov 链	29、30
u4-16	Poisson 过程与更新等待	31、32
u4-17	Brownian 运动与随机微分入门	33、34
u4-18	平稳过程与 AR 时间序列	35、36
u4-19	数学建模与量纲分析	37、38
u4-20	模型拟合、验证与可辨识性	39、40
u4-21	优化建模、敏感性与结果解释	41、42
u4-22	偏微分方程建模与边界条件	43、44

复数、复平面与指数表示

知识回顾 · 公式速查

题 1

把 $1+i$ 写成极形式，并计算 $(1+i{)}^4$。

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模为 $\sqrt{2}$，辐角可取 $\pi /4$，故 $1+i=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$。四次方为 $(\sqrt{2}{)}^4{e}^{i\pi }=-4$。易错：乘方时模也要取同样次方。

题 2

求方程 $z^3=1$ 的全部复数解。

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写 $1=e^{2k\pi i}$，立方根为 $e^{2k\pi i/3}$，取 $k=0,1,2$ 得 $1,-1/2+i\sqrt{3}/2,-1/2-i\sqrt{3}/2$。更大的 $k$ 只重复这些根。易错：复数范围不只一个实根。

复可微与 Cauchy–Riemann 条件

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题 3

检验 $f(z)=z^2$ 满足 Cauchy–Riemann 条件，并求导数。

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$u=x^2-y^2,v=2xy$。$u_x=2x=v_y$，$u_y=-2y=-v_x$，偏导处处连续，故全纯。$f^{\prime }=2x+2iy=2z$。易错：两条方程都要检查。

题 4

函数 $f(z)=\bar{z}$ 在何处复可微？

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此时 $u=x,v=-y$，$u_x=1$ 而 $v_y=-1$，处处不满足必要条件，因此没有任何复可微点。也可沿实轴和虚轴差商分别得 $1,-1$。易错：作为实二维映射光滑，并不意味着复可微。

复积分与 Cauchy 积分公式

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题 5

沿单位圆逆时针计算 $\oint dz/z$。

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取 $z=e^{it},0\le t\le 2\pi$，$\mathrm{d}z=i{e}^{it}\mathrm{d}t$，积分为 ${\int }_0^{2\pi }i\mathrm{d}t=2\pi i$。易错：$1/z$ 在圆内原点有奇点，不能用闭路积分为零的结论。

题 6

沿 $|z|=2$ 逆时针计算 $\oint e^z/(z-1)\mathrm{d}z$。

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$e^z$ 处处全纯，点 $1$ 位于圆内。由 Cauchy 积分公式得 $2\pi i{e}^1=2\pi ie$。易错：若极点在曲线外，不能套用相同的内部点公式。

Laurent 级数、留数与孤立奇点

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题 7

求 $f(z)=1/[z(z-1)]$ 在 $z=0,1$ 的留数，并求沿 $|z|=1/2$ 逆时针走一周的积分；走两周时呢？

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两点都是简单极点。在 $0$ 的留数为 $\underset{z\to 0}{lim}1/(z-1)=-1$；在 $1$ 的留数为 $\underset{z\to 1}{lim}1/z=1$。圆内只有 $0$，故一周积分为 $-2\pi i$；同向两周的绕数为 $2$，积分为 $-4\pi i$。易错：非简单闭路要计入绕数。

题 8

求 $f(z)=e^z/z^2$ 在 $0$ 的留数和奇点类型。

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展开得 $z^{-2}+z^{-1}+1/2+z/6+\cdots$。负一次项系数为 $1$，所以留数为 $1$；最低幂为 $-2$ 且系数非零，故为二阶极点。易错：极点阶数由最负幂决定，留数只取负一次项。

Fourier 级数与 Fourier 变换

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题 9

求 $f(x)=\sin x$ 的 Fourier 级数系数。

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由三角函数在 $[-\pi ,\pi ]$ 的正交性，所有 $a_n$ 为零，$b_1=1$，其他 $b_n=0$，故级数就是 $\sin x$ 本身。易错：常数项采用 $a_0/2$ 的约定，要与积分系数保持一致。

题 10

按本篇变换约定，求 $f(t)=e^{-at}{\mathbf{1}}_{t\ge 0}$（$a>0$）的 Fourier 变换。

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$\hat{f}(\omega )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(a+i\omega )t}\mathrm{d}t=1/(a+i\omega )$。$a>0$ 保证积分收敛。易错：前向指数约定为负号，所以分母是 $a+i\omega$。

Laplace 变换与初值系统

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题 11

用 Laplace 变换解 $y^{\prime }+2y=0,y(0)=3$（$t\ge 0$）。

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变换得 $sY-3+2Y=0$，所以 $Y=3/(s+2)$。逆变换得到 $y=3e^{-2t}$，收敛半平面为 $\mathrm{Re}s>-2$。易错：导数变换中的初值项不能遗漏。

题 12

求 $F(s)=1/[s(s+1)]$ 的单边逆 Laplace 变换。

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部分分式 $1/[s(s+1)]=1/s-1/(s+1)$，对应 $f(t)=1-e^{-t}$（$t\ge 0$），收敛域 $\mathrm{Re}s>0$。易错：代数分解后的符号决定两个时间项的相减关系。

实分析：完备性与严格极限

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题 13

用极限定义证明 $1/n\to 0$。

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任给 $\epsilon >0$，选正整数 $N>1/\epsilon$，则当 $n\ge N$ 时 $|1/n-0|\le 1/N<\epsilon$。因此按定义收敛到零。易错：$N$ 可以依赖精度 $\epsilon$，但选好后要对所有更大下标成立。

题 14

集合 $S=\{x\in \mathbb{Q}:0<x,x^2<2\}$ 在实数中的上确界是什么？它属于 $\mathbb{Q}$ 吗？

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实数中的上确界是 $\sqrt{2}$：它是上界，且由有理数稠密性可从下方任意逼近。$\sqrt{2}$ 不是有理数，所以有理数系不能为此集合提供有理上确界。易错：有上界不表示在指定数域里一定有上确界。

逐点收敛与一致收敛

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题 15

研究 $f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 的逐点极限及一致收敛性。

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当 $0\le x<1$ 时趋零，在 $x=1$ 恒为 $1$，极限在 $1$ 不连续。各 $f_n$ 连续，因此不可能在 $[0,1]$ 一致收敛；也可见与极限的上确界误差始终为 $1$。易错：每一点收敛不代表全区间同步收敛。

题 16

证明 $f_n(x)=\sin x/n$ 在 $\mathbb{R}$ 一致收敛，并确定极限。

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对所有 $x$，$|f_n(x)|\le 1/n$，所以上确界误差不超过 $1/n\to 0$，故一致收敛到零函数。易错：界必须与 $x$ 无关才直接给出一致控制。

测度、Lebesgue 积分与控制收敛

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题 17

在 $[0,1]$ 上令 $f$ 在有理点为 1、无理点为 0，求其 Lebesgue 积分。

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有理数集合可数，Lebesgue 测度为零，因此 $f=0$ 几乎处处，积分为 $0$。它在每点不连续，通常的 Riemann 积分不存在。易错：稠密集合不一定有正测度。

题 18

令 $f_n(x)=n{\mathbf{1}}_{(0,1/n)}(x)$，$x\in [0,1]$。比较逐点极限的积分与积分的极限。

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每个固定 $x>0$ 最终不在支持区间内，而 $x=0$ 处也为零，故逐点极限是零，积分为零。每个 $f_n$ 的积分却等于 $n(1/n)=1$，因此积分极限为 $1$。这说明缺少控制收敛等条件时不能交换。易错：尖峰高度随 $n$ 增长。