小学五年级数学：公式与规则速查

知识讲解 · 公式速查 · 独立习题集

按六三三学段编排的通用建议学习顺序；不同地区、教材和学期安排存在差异。本版覆盖以下明确列出的知识点，不将其等同于所有教材或完整课程标准。

公式页保留所有知识点的编号。低年级有些知识以规则而非代数公式表达；字母与较复杂符号可由教师辅助理解。计算前先确认已知量、未知量、单位和适用条件。

小数乘法与积的小数位

若因数分别有 $m,n$ 位小数，整数积先按 $m+n$ 位小数还原。$a>0,0<b<1$ 时，$ab<a$。

使用前检查： 乘以小于 1 的正数会使正数变小，不能总认为“乘法越乘越大”。

计算或判断示例： 0.24×1.5：24×15＝360，两因数共有 3 位小数，所以积为 0.360＝0.36。

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小数除法、循环小数与取近似值

$a÷b=({10}^{n}a)÷({10}^{n}b)$，$b\ne 0$。$0.\bar{3}=\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3}\approx 0.33$（保留两位小数）。

使用前检查： 不能只移动除数的小数点；近似值必须说明保留位数。

计算或判断示例： 7.56÷1.2＝75.6÷12＝6.3；1÷3＝0.333…是循环小数，保留两位小数约为 0.33。

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因数、倍数与成对寻找

若正整数 $a=bk$，则 $b,k$ 是 $a$ 的因数，$a$ 是 $b,k$ 的倍数。$a$ 的最小正因数为 $1$，最大为 $a$。

使用前检查： “倍数”与“倍”情境相关但本节约定正整数；0 与负数不进入本页的正因数列表。

计算或判断示例： 18 的正因数为 1、2、3、6、9、18；可以按 1×18、2×9、3×6 成对找到。

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2、3、5 的整除特征与奇偶

偶数 $=2k$；奇数 $=2k+1$（$k$ 为整数）。奇$+$奇为偶，奇$+$偶为奇；含偶数因数的整数乘积为偶。

使用前检查： 判断能否被 3 整除看数字和，不是只看个位。

计算或判断示例： 735 的各位和为 15，因此能被 3 整除；个位为 5，能被 5 整除，却不是偶数。

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质数、合数与分解质因数

$60=2^2\times 3\times 5$。大于 $1$ 的整数可分解为质数乘积，忽略排列顺序后分解唯一。

使用前检查： “奇数都是质数”错误，9、15 都是奇合数；1 不能当作质因数。

计算或判断示例： 60＝2×30＝2×2×15＝2²×3×5；2 是唯一的偶质数。

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最大公因数与最小公倍数

正整数 $a,b$ 满足 $gcd(a,b)\mathrm{lcm}(a,b)=ab$。互质时最大公因数为 $1$，最小公倍数为 $ab$。

使用前检查： 把“分成尽量大的同样份”与“下一次同时发生”区分：前者常用公因数，后者常用公倍数。

计算或判断示例： 12＝2²×3，18＝2×3²，所以最大公因数为 6，最小公倍数为 36。

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分数与除法、真分数和带分数

$a÷b=\frac{a}{b}$（$b\ne 0$）；$k\frac{a}{b}=\frac{kb+a}{b}$，这里 $k$ 为非负整数，$0\le a<b$，$b>0$。

使用前检查： 带分数中的整数与分数是相加，不是相乘。

计算或判断示例： $\frac{17}{5}=3\frac{2}{5}$，因为 $17=5\times 3+2$；$2\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$。

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分数基本性质、约分、通分与比较

$\frac{a}{b}=\frac{ak}{bk}$（$b,k\ne 0$）。比较时约定各分母均为正：同分母比大小看分子；同正分子时，分母越大分数越小。 例如 $\frac{5}{8}=5÷8=0.625$，$0.45=\frac{45}{100}=\frac{9}{20}$；循环小数不能当作截断后的有限小数精确换算。

使用前检查： 分子分母同时加上相同数，一般不能保持分数大小。

计算或判断示例： $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$；比较 $\frac{5}{6}$ 与 $\frac{7}{9}$，通分为 $\frac{15}{18}$ 与 $\frac{14}{18}$，所以前者大。

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异分母分数加减与整数相减

$\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}$（$b,d\ne 0$）。实际计算优先使用最小公分母；加法交换律、结合律仍适用。

使用前检查： 分母不能直接相加减；通分时分子必须乘相同倍数。

计算或判断示例： $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$；$2-\frac{5}{6}=\frac{12}{6}-\frac{5}{6}=\frac{7}{6}$。

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用字母表示数与解方程

$a=b\Rightarrow a+c=b+c$；$a=b\Rightarrow ac=bc$；除以同一非零数也保持相等。$x+x=2x$，$x\times x=x^2$。

使用前检查： 含字母的式子未必是方程，如 3x＋5 没有等号。

计算或判断示例： 3x＋5＝26，两边减 5 得 3x＝21，再两边除以 3 得 x＝7。

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列方程解决和差、倍数问题

和倍问题：小量 $=$和$÷$(倍数$+1$)。差倍问题：小量 $=$差$÷$(倍数$-1$)，倍数不为 $1$。

使用前检查： “是 3 倍”和“多 3 倍”不同，后者通常表示本身加上 3 倍，即 4 倍。

计算或判断示例： 两数和为 48，大数是小数的 3 倍，设小数 x，则 x＋3x＝48，得 x＝12，大数 36。

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平行四边形与三角形面积

平行四边形 $S=ah$；三角形 $S=\frac{1}{2}ah$；三角形 $h=2S÷a$（$a>0$）。

使用前检查： 斜边不能代替高；三角形公式中的除以 2 不能漏。

计算或判断示例： 底 10 厘米、高 6 厘米的三角形面积为 10×6÷2＝30 平方厘米，同底同高平行四边形面积为 60 平方厘米。

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梯形面积与组合图形

梯形 $S=\frac{(a+b)h}{2}$。不重叠拼合：$S=S_1+S_2$；挖去一块：$S=S_{\text{整体}}-S_{\text{挖去}}$。

使用前检查： 组合面积不能把重叠部分重复加；不是把图上所有边长相乘。

计算或判断示例： 上底 4、下底 10、高 5 厘米的梯形面积为 (4＋10)×5÷2＝35 平方厘米。

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长方体、正方体与表面积

长方体 $S=2(ab+ah+bh)$；正方体 $S=6a^2$；无盖长方体盒 $S=ab+2ah+2bh$（底为 $a\times b$）。 长方体棱长总和 $L=4(a+b+h)$；正方体棱长总和 $L=12a$，棱长和使用长度单位。

使用前检查： 表面积不等于体积；无盖盒只有 5 个面，不能直接照搬封闭体公式。

计算或判断示例： 长 5、宽 3、高 2 厘米的封闭长方体表面积为 2×(15＋10＋6)＝62 平方厘米。

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体积与底面积乘高

长方体 $V=abh=S_{\text{底}}h$；正方体 $V=a^3$；长方体 $h=V÷S_{\text{底}}$（$S_{\text{底}}>0$）。

使用前检查： 体积单位是立方厘米等；底面积已有平方单位，再乘高度才成为体积。

计算或判断示例： 长 6、宽 4、高 3 厘米的长方体体积为 6×4×3＝72 立方厘米，每层 24 个单位立方体、共 3 层。

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体积单位、容积与排水法

$1{\text{ m}}^3=1000{\text{ dm}}^3$；$1{\text{ dm}}^3=1000{\text{ cm}}^3=1$ 升；$1{\text{ cm}}^3=1$ 毫升。排水体积 $V=S_{\text{底}}\mathrm{\Delta }h$。 $1{\text{ cm}}^3=1000{\text{ mm}}^3$；$1{\text{ m}}^3=1000000{\text{ cm}}^3$。

使用前检查： 容器外尺寸算的是外部体积，不直接等于容积；未完全浸没只得到浸入部分体积。

计算或判断示例： 底面积 80 平方厘米的直壁容器，物体浸没后水面升高 3 厘米，排水体积为 240 立方厘米，也就是物体体积。

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图形的旋转、对称与对应点

整周 ${360}^{\circ }$；四分之一周 ${90}^{\circ }$；半周 ${180}^{\circ }$。轴对称的对应点到轴距离相等。

使用前检查： 只说“旋转 90°”不够，中心和方向也必须明确。

计算或判断示例： 钟表分针从 12 顺时针转到 3 是旋转 90°；一个点在竖直对称轴左侧 3 格，它的对应点在右侧 3 格。

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折线统计图与趋势

变化量$=$后一个数据$-$前一个数据；平均每单位时间变化量$=$变化量$÷$时间间隔（间隔非零）。

使用前检查： 连线只是展示记录点间的变化线索，不代表每个未测时刻都严格线性变化。

计算或判断示例： 连续三天气温为 18、23、21°C，先升 5°C 后降 2°C；不能说总体一直上升。

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可能性大小与公平规则

等可能且有限时，事件发生的机会 $P=\frac{\text{符合条件的结果数}}{\text{全部结果数}}$，$0\le P\le 1$。

使用前检查： 连续几次未出现某结果，不表示下一次一定出现。

计算或判断示例： 公平六面骰子掷出偶数的结果有 2、4、6 共 3 种，占 6 种的一半；掷出 6 只有一种。

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枚举、假设与鸡兔同笼

鸡兔共 $N$ 只、共 $L$ 条腿：兔数 $=(L-2N)÷2$，鸡数 $=N-$兔数；要求结果为非负整数。

使用前检查： 假设后的差与每次增加量必须使用同一种单位；求出的数量还要代回两个条件。

计算或判断示例： 鸡兔共 10 只，共 28 条腿。若全是鸡则 20 条腿，每换一只兔多 2 条腿，多出的 8 条对应 4 只兔，鸡 6 只。

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