七年级数学知识讲解

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先建立有理数与代数语言，再学习一元一次方程、基础几何和数据表达。数的运算是后续变形的依据，几何结论必须区分已知条件与待证结论。

本版按通用建议学习顺序编排，不等同于某一版教材的上下册；请按已学内容与学校进度调整。本版习题覆盖率仅针对本年级列出的 18 个知识点。

有理数的分类与相反数

整数与分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都能化成分数。正负表示相对于约定基准的方向，零既不是正数也不是负数。相反数是和为零的一对数，例如 $-\frac{2}{3}$ 与 $\frac{2}{3}$；“负号”与“负数”不能混为一谈，$-a$ 在 $a<0$ 时为正。

公式与条件： 有理数可写为 $\frac{p}{q}$，其中 $p,q$ 为整数且 $q\ne 0$。$a$ 的相反数是 $-a$，满足 $a+(-a)=0$；$-(-a)=a$。

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数轴、绝对值与距离

数轴用原点、正方向和单位长度把数表示为点，右边的数大于左边的数。绝对值表示到原点的距离，因此不为负。两点距离先做坐标差再取绝对值，例如 $-2$ 与 $3$ 相距 $5$。解绝对值方程时要考虑原点两侧，而不能只取正根。

公式与条件： $|a|=\{\begin{array}{ll}a,& a\ge 0\\ -a,& a<0\end{array}$；坐标为 $a,b$ 的点相距 $|a-b|$。若 $c>0$，则 $|x|=c⟺x=\pm c$；$c=0$ 时仅 $x=0$，$c<0$ 无解。

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有理数加减与符号处理

同号两数相加，保留共同符号并把绝对值相加；异号相加，用较大绝对值减较小绝对值，取绝对值较大者的符号。减去一个数等于加上它的相反数。把减法统一成加法后可用交换律、结合律凑整，例如 $-7+4+7=4$。

公式与条件： $a-b=a+(-b)$；$a+b=b+a$；$(a+b)+c=a+(b+c)$。这些加法规律适用于全部有理数；减法本身不满足交换律、结合律。

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有理数乘除与倒数

乘除先确定符号，再计算绝对值；非零因子的负数个数为偶数时乘积为正，为奇数时为负。除以非零数等于乘其倒数。零不能作除数，也没有倒数；分数的倒数交换分子分母时，原分子必须非零。

公式与条件： $a÷b=a\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)$；非零 $a$ 的倒数为 $\frac{1}{a}$。$a(b+c)=ab+ac$。若 $ab=0$，则 $a=0$ 或 $b=0$。

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乘方与混合运算顺序

$a^n$ 表示 $n$ 个 $a$ 相乘，其中 $n$ 为正整数。偶次幂不能区分正负底数，奇次幂保留底数符号。括号决定底数范围：$(-2{)}^2=4$，而 $-2^2=-(2^2)=-4$。混合运算先括号，再乘方，再乘除，最后加减；同级从左到右。

公式与条件： $a^n=\underset{n\text{ 个}}{\underbrace{a\cdot a\cdots a}}$。$(-a{)}^{2k}=a^{2k}$，$(-a{)}^{2k+1}=-a^{2k+1}$；第一式 $k$ 为正整数，第二式 $k$ 为非负整数，以保证指数均为正整数。

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科学记数法与近似数

科学记数法把非零数写成一个绝对值在 $1$ 到 $10$ 之间的系数乘以 $10$ 的整数次幂，便于比较数量级。移动小数点时保持原数值不变。近似数应写明取舍精度，例如精确到百分位表示保留两位小数；末尾的零可以表达精度。

公式与条件： $N=a\times {10}^n$，其中 $1\le |a|<10$、$n\in \mathbb{Z}$。四舍五入到单位 $h$ 的误差通常不超过 $\frac{h}{2}$；边界按约定的舍入规则处理。

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代数式与代入求值

用字母表示一般数量可以把相同的数量关系压缩成式子。代入前先说明字母代表什么量以及单位；负数或分数代入乘方时应加括号。式子的值取决于给定字母值，式子的结构则由原数量关系决定，例如边长 $a$ 的正方形面积是 $a^2$，且 $a>0$。

公式与条件： 长方形周长 $P=2(a+b)$、面积 $S=ab$，其中 $a,b>0$。速度关系 $s=vt$ 适用于匀速运动且时间、长度单位相容。

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单项式、多项式与次数

单项式是数与字母的乘积，数因数叫系数，字母指数之和叫次数。多项式由单项式相加组成，次数为非零项的最高次数。常数项不含字母；确定项时要把前面的正负号带上，例如 $2x^2-3x+1$ 的一次项是 $-3x$。

公式与条件： 单项式 $c{a}^m{b}^n$ 的次数为 $m+n$，其中 $c\ne 0$，$m,n$ 为非负整数。非零常数次数为 $0$；零多项式的次数在本版不另作约定。

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同类项、去括号与整式加减

同类项要求字母及其指数都相同，合并时只加减系数。去括号本质上是分配律：括号前为负号，相当于每项都乘 $-1$，所以每一项变号。先去括号，再按同类项分组，最后检查是否遗漏常数项。

公式与条件： $a{x}^m+b{x}^m=(a+b)x^m$。$+(a-b)=a-b$，$-(a-b)=-a+b$。不同字母部分的项不能合并。

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等式性质与一元一次方程

方程是含未知数的等式，解是使等式成立的未知数值。一元一次方程整理后形如 $ax=b$ 且 $a\ne 0$。等式两边同加同减一个式子，或同乘同除一个非零数，仍保持相等；移项和系数化为 $1$ 都来自这些性质。解后代回原式检验。

公式与条件： $ax=b\Rightarrow x=\frac{b}{a}(a\ne 0)$。若 $a=0,b\ne 0$ 则无解；若 $a=b=0$ 则所有允许的 $x$ 都满足。分母为常数的方程可乘各分母的最小公倍数。

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一元一次方程的数量建模

应用题先设未知量并写单位，再找能用两种方式表达的同一数量。相遇问题中两人走过的路程之和等于总路程；折扣问题中售价等于标价乘折扣率。列方程后还要检查答案是否满足时间非负、人数为整数等实际条件。

公式与条件： 相向匀速相遇：$(v_1+v_2)t=s$，要求同时出发、沿同一路线相向且 $v_1+v_2>0$。售价 $=\text{标价}\times \text{折扣率}$；利润 $=\text{售价}-\text{成本}$。

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平面直角坐标系

坐标按先横后纵排列，横坐标对应 $x$ 轴，纵坐标对应 $y$ 轴。坐标轴把平面分为四个象限，坐标轴上的点不属于任何象限。坐标能把位置与数量结合，例如从 $(2,-1)$ 向左移动 $3$ 个单位，只改变横坐标。

公式与条件： 点 $P(x,y)$ 到 $x$ 轴距离为 $|y|$，到 $y$ 轴距离为 $|x|$。平移向量 $(a,b)$ 后为 $(x+a,y+b)$。

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先只观察坐标轴与点的位置：图中直线是 $y=2x+1$，曲线是 $y=x^2$。曲线的函数性质会在后续年级学习。

线段、射线与角的度量

线段有两个端点且长度有限；射线有一个端点并向一侧延伸；直线向两侧延伸。角由同端点的两条射线构成，大小由张开程度决定，与画出的边长无关。角平分线把一个角分成两个相等的角；互余与互补只描述角度和，不要求位置相邻。

公式与条件： 若 $M$ 是 $AB$ 中点，则 $AM=MB=\frac{1}{2}AB$。互余：$\alpha +\beta ={90}^{\circ }$；互补：$\alpha +\beta ={180}^{\circ }$。$1^{\circ }={60}^{\prime }$，$1^{\prime }={60}^{″}$。

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相交线、平行线与判定

两直线相交形成的对顶角相等，邻补角之和为 ${180}^{\circ }$。两直线被第三条直线所截时，平行可推出同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；反过来任一相应条件也可用于判定平行。推理时先标出是哪两条直线、哪一条截线。

公式与条件： $a\parallel b\Rightarrow$ 同位角相等、内错角相等、同旁内角和为 ${180}^{\circ }$。同一平面内 $a\perp c,b\perp c\Rightarrow a\parallel b$，其中 $a,b$ 为不同直线。

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三角形的边角关系

三角形内角和为 ${180}^{\circ }$，外角等于与它不相邻的两个内角之和。任意两边之和大于第三边，是三条线段能围成非退化三角形的条件。用两条已知边求第三边范围时，既要小于两边之和，也要大于两边之差的绝对值。

公式与条件： $A+B+C={180}^{\circ }$；外角 $D=A+B$。边长 $a,b,c>0$ 时，$|a-b|<c<a+b$。等号对应三点共线的退化情形，不算三角形。

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多边形内角和与外角和

从凸多边形的一个顶点向不相邻顶点作对角线，可分成 $n-2$ 个三角形，因此得到内角和。沿凸多边形同一方向走一圈，转向角合计为一周角，因此每个顶点各取一个同向外角的和为 ${360}^{\circ }$。正多边形的边和内角分别相等。

公式与条件： 凸 $n$ 边形内角和 $(n-2){180}^{\circ }$，$n\ge 3$。正 $n$ 边形每个内角 $\frac{(n-2){180}^{\circ }}{n}$，每个外角 $\frac{{360}^{\circ }}{n}$。

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数据整理与平均数、中位数、众数

统计前先明确调查对象、数据单位和是否遗漏。平均数反映总量分配，中位数要把数据排序后取中间位置，众数是出现次数最多的值，可能不唯一。极端值会明显影响平均数，中位数通常较稳健；条形图便于比较类别，折线图适合展示随时间变化。

公式与条件： $\overline{x}=\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}$，$n\ge 1$。排序后，奇数个数据取中间值；偶数个取中间两个数的平均。频率 $=\frac{\text{频数}}{\text{总数}}$。

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随机事件与简单等可能概率

必然事件一定发生，不可能事件不会发生，随机事件在试验前无法确定是否发生。在有限且每个基本结果等可能时，概率可以用有利结果数除以总结果数。频率是实际试验观察值，重复次数增多时常围绕概率波动，但不保证每次都更接近。

公式与条件： 有限等可能模型中 $P(A)=\frac{m}{n}$，其中 $n>0$、$m$ 为事件 $A$ 包含的基本结果数。$0\le P(A)\le 1$，$P(\bar{A})=1-P(A)$。

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