八年级数学知识讲解 · 等腰三角形与垂直平分线至加权平均数与方差

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以整式运算为基础，引入实数、分式、方程组、不等式和一次函数；几何从角的关系推进到全等、勾股定理和四边形。先写运算条件，再进行约分或等价变形。

等腰三角形与垂直平分线

等腰三角形两腰相等可推出两底角相等；反过来，等角也可推出对边相等。顶角平分线、底边中线和底边高重合。线段垂直平分线上的点到两端点等距；到两端点等距的点也在垂直平分线上，这一双向结论可用于构造圆心或证明对称。 角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等；反过来，角内部到两边距离相等的点在角平分线上。尺规作线段垂直平分线：以两端点为圆心、同一大于半线段长的半径画弧，连接两交点。作角平分线：以顶点为圆心画弧交两边，再以两交点为圆心、同一适当半径画弧，连接角内部交点与顶点。

公式与条件： $AB=AC\Rightarrow \mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C$。若顶角为 $A$，两底角各为 $\frac{{180}^{\circ }-A}{2}$。$PA=PB⟺P$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，要求 $A\ne B$。 对 $0^{\circ }<\mathrm{\angle }AOB<{180}^{\circ }$ 内部的点 $P$，设 $M,N$ 分别是它到两边所在直线的垂足，即 $M\in OA,N\in OB$（这里指所在直线）、$PM\perp OA,PN\perp OB$，则 $P$ 在角平分线上 $⟺PM=PN$（距离取到两边所在直线的垂距）。

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勾股定理与逆定理

直角三角形中，两直角边平方和等于斜边平方；斜边总是直角对边，也是最长边。逆定理可以用三边判直角：先找最大边，再检验它的平方是否等于另两边平方和。距离、梯子和矩形对角线问题都先确认直角来自哪里。

公式与条件： 若 $\mathrm{\angle }C={90}^{\circ }$，则 $c^2=a^2+b^2$。反之，正边长满足 $c^2=a^2+b^2$，则 $c$ 所对角是直角。坐标距离 $PQ=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$。

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平行四边形、矩形、菱形与正方形

平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。矩形额外有直角，对角线相等；菱形额外有四边相等，对角线垂直并平分对角；正方形同时具有两者性质。判定特殊四边形时必须核实基础条件，例如“对角线相等”单独不足以推出矩形。 三角形中位线连接两边中点，平行于第三边且等于其一半。四边形两组对边分别相等，或对角线互相平分，均可判为平行四边形；在此基础上，对角线相等判矩形，对角线垂直判菱形，同时满足两者判正方形。

公式与条件： 平行四边形 $S=ah$，$h$ 是对应底 $a$ 的高。矩形 $S=ab$，对角线 $d=\sqrt{a^2+b^2}$。菱形 $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$。正方形 $S=a^2,d=\sqrt{2}a$，边长均取正。 三角形 $ABC$ 中，$D,E$ 分别为 $AB,AC$ 中点，则 $DE\parallel BC,DE=BC/2$。各特殊四边形的附加判定都须保留其前提。

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加权平均数与方差

当各组数据频数不同，应按频数加权，而不是简单平均各组的数值。方差是各数据与平均数差的平方的平均，度量离散程度；先平方可避免正负偏差互相抵消。给全体数据同时加常数不改变方差，乘常数会使方差乘该常数的平方。

公式与条件： $\overline{x}=\frac{\sum f_i{x}_i}{\sum f_i}$，$f_i\ge 0,\sum f_i>0$。本节总体型方差 $s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$。这是分母 $n$ 的描述统计量，不与大学的无偏样本方差混用。

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