大学第2阶段数学习题集 · 期望、方差与协方差至假设检验与错误类型

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知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 24 个知识点；配套 48 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

期望、方差与协方差

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题 41

均匀骰子点数 $X$ 的期望与方差是多少？

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$EX=(1+\cdots +6)/6=7/2$，$E(X^2)=91/6$，所以方差 $91/6-49/4=35/12$。易错：方差是平方的期望减均值平方，次序不能颠倒。

题 42

独立随机变量 $X,Y$ 满足 $EX=1,EY=2,\mathrm{Var}X=3,\mathrm{Var}Y=4$。求 $E(2X-Y)$ 与其方差。

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期望为 $2\cdot 1-2=0$。独立使协方差为零，方差为 $2^2\cdot 3+(-1{)}^2\cdot 4=16$。易错：负系数平方后变正，差的方差不是两个方差相减。

大数定律与中心极限定理

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题 43

总体标准差为 $12$，独立抽样 $n=36$ 时样本均值的标准误是多少？若样本数增加到 $144$ 呢？

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标准误分别为 $12/\sqrt{36}=2$ 和 $12/\sqrt{144}=1$。样本量增至四倍使标准误减半。易错：标准误按平方根速度下降，不按样本数本身下降。

题 44

独立同分布总体均值 $10$、标准差 $4$，取 $64$ 个样本。用中心极限定理估计 $P(\overline{X}\le 11)$，已知 $\mathrm{\Phi }(2)\approx 0.9772$。

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标准误 $4/8=0.5$，标准化得 $(11-10)/0.5=2$，所以概率约 $\mathrm{\Phi }(2)=0.9772$。若总体本身正态则此计算精确到所给表值，否则为近似。易错：不能用单个观测的标准差 $4$ 标准化样本均值。

参数估计与置信区间

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题 45

样本为 $1,2,3$，求样本均值及无偏样本方差。

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均值为 $2$，离差平方和为 $1+0+1=2$，除以 $n-1=2$ 得 $S^2=1$。易错：描述这三个数本身的总体方差可以除以 $3$，但此处要求无偏估计总体方差。

题 46

正态总体标准差已知为 $10$，抽取 $100$ 个独立样本得均值 $50$。用 $z_{0.975}=1.96$ 求均值的 95% 置信区间。

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标准误为 $10/10=1$，区间为 $50\pm 1.96$，即 $[48.04,51.96]$。适用前提是独立正态样本且总体标准差已知。易错：这里 $10$ 是总体标准差，不是方差，也不是标准误。

假设检验与错误类型

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题 47

从正态总体独立抽样，已知 $\sigma =8$，$n=64,\overline{x}=102$。双侧检验 $H_0:\mu =100$，显著性水平 $0.05$，临界值 $1.96$，作出结论。

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标准误 $8/8=1$，统计量 $Z=(102-100)/1=2$。因 $|2|>1.96$，在 $5\mathrm{\%}$ 水平拒绝原假设。易错：拒绝是依据给定模型与显著性规则的统计结论，不代表逻辑上绝不可能有 $\mu =100$。

题 48

某检验得到 $p=0.12$，设定 $\alpha =0.05$。能否说原假设有 88% 的概率正确？应怎样表述？

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不能。因 $0.12>0.05$，本次数据不足以在该显著性水平拒绝原假设。$p$ 值是以原假设成立为前提的数据尾概率，不是对假设真实性的后验概率。易错：$1-p$ 也不是原假设为真的概率。