运筹学基础（02375） · 第九章：马尔可夫链与平稳分布至公式适用条件与补充

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本页保留旧课程笔记与旧链接，修复公式并补充适用条件。系统课程与习题见大三数学。

按问题定位：预测/回归 · 最小最大遗憾 · 经济订货量 EOQ · 线性规划 · 运输与网络计划 · 最短路/流 · 平稳分布 · 盈亏平衡/排队。

第九章：马尔可夫链与平稳分布

马尔可夫链与平稳分布概念

• 概率向量的性质：
  • 元素非负
  • 元素总和为 1
• 概率矩阵：任意一个方阵，如果其各行都是概率向量，则该方阵称之为概率矩阵
• 马尔可夫性：给定当前状态后，下一步状态的条件分布不再依赖更早的历史；不是说下一步结果由当前状态确定。齐次链还要求转移概率不随时间改变。
• 概率向量：任意一个向量，如果它内部的各个元素均为非负数，且总和等于 1，则该向量称之为概率向量
• 马尔可夫链的平稳分布满足 $\pi P=\pi$ 且分量和为1。有限状态不可约链有唯一平稳分布，再加非周期条件可保证从任意初始分布收敛到它；可约链或周期链不能直接套用“最终总是一样”。

第十章：盈亏平衡

盈亏平衡概念

• 盈亏平衡点：盈亏平衡点就是企业经营达到这一点时，总销售额和总成本完全相等，即总利润为 0
• 线性盈亏平衡分析：在相关产量范围内，固定成本 $F$ 不变、单位变动成本 $v$ 恒定，才有总成本 $C(q)=F+vq$。若单位售价 $p$ 恒定、产销相等且 $p>v$，盈亏平衡销量为 $q_0=F/(p-v)$；若产量必须为整数，达到不亏损所需销量向上取整。成本仅能分成固定和变动两类，并不能推出线性。
• 计划成本：在固定成本中，管理部门认为要达到预期目标所必须的费用，称之为计划成本
• 固定成本：在一定时期内不随企业产量的增减而变化的费用，称之为固定成本
• 可变成本：随着企业产品产量的增减而变化的费用，称之为可变成本
• 生产能力百分率：生产能力百分率，指盈亏平衡点销售量与总生产能力之比
• 变动费用线：在线性模型中为 $V(q)=vq$，通过原点；总费用线为 $C(q)=F+vq$，纵截距为固定成本 $F$，两条线不能混称。

第十一章：模拟与排队

模拟与排队概念

• 蒙特卡洛方法：蒙特卡洛方法是应用随机数进行模拟试验的方法，它对要研究的系统进行随机观察抽样，通过对样本的观察统计，得到系统的参数值
• 模拟：模拟是一种定量的过程，它先为过程设计一个模型，然后再组织一系列的反复试验，以预测该过程全部时间里所发生的情况
• 随机数模拟常从 $U\sim U(0,1)$ 出发，通过逆分布函数或其他采样算法生成目标随机变量；累计概率与一次随机观测值是不同概念。
• M/M/1 等特定排队模型的假设（并非所有排队系统）
  • 到达过程是速率 $\lambda$ 的泊松过程；时间长度 $t$ 内的到达数服从 $\mathrm{Pois}(\lambda t)$，相邻到达间隔为指数分布。
  • 单服务台，服务时间独立同分布于速率 $\mu$ 的指数分布，并与到达过程独立。经典模型采用无限等待空间、先到先服务。
  • 稳态公式需要 $0\le \lambda <\mu$；当 $\lambda \ge \mu$ 时，不可继续套用有限稳态平均队长公式。

练习

练习 1

• 定量决策：借助于某些正规的计量方法而做出的决策，称之为定量决策
• 在应用运筹学方法进行决策的步骤中，最关键的是：收集数据

练习 2

• 定性预测法

  • 定性预测法适用于社会或经济环境发生了剧烈变化，或建立定量模型缺少的数据或资料的情况
  • 也叫判断预测法在生产和经济活动中，常常会出现这样的情况，在这些情况下，人们的判断是唯一现实的预测方法。情况之一是由于建立某个定量模型缺少数据或资料

• 预测定义见第二章，此处补定性方法的反馈组织方式。

• 常用定性预测方法：特尔斐法和专家小组法

• 特尔斐法（希望在专家群中取得比较一致的方法）

  • 专家发表意见是匿名
  • 进行多次信息反馈
  • 最后调研人员整理归纳专家的意见，将比较统一和特殊的意见一起交给有关部门，以供决策
  • 需要经过几轮信息反馈，进行时间长，因适用于长期或中期预测

• 专家小组法（座谈会法）

  • 专家小组法又称座谈会法，是在接受咨询的专家之间组成一个小组，面对面的进行讨论与碳商，最后对需要预测的课题得出比较一致的意见
  • 适用于短期预测方法

公式适用条件与补充

平均/回归条件已移至预测公式，库存前提与完整算例见库存成本与订货量。概率向量采用行向量，见马尔可夫链；继续做最短路/生成树、线性规划和平稳分布的具体题。

图中采用行概率向量，$P=\left(\begin{array}{cc}0.8& 0.2\\ 0.3& 0.7\end{array}\right)$，解 $\pi P=\pi$ 得 $\pi =(0.6,0.4)$。