大学第1阶段数学知识讲解 · 函数、数列与数学语言至洛必达法则与未定式

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知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 20 个知识点；配套 40 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

大学第1阶段数学知识讲解

知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 20 个知识点；配套 40 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

建议从函数与极限进入一元微积分，再学习矩阵、方程组与向量空间。先修为高中函数、三角、指数对数和基本代数；遇到缺口应回看高中对应知识点。

本版知识点清单

编号	知识点	配套练习
u1-01	函数、数列与数学语言	题 1、2
u1-02	极限与无穷小	题 3、4
u1-03	连续性与闭区间定理	题 5、6
u1-04	导数定义与可微性	题 7、8
u1-05	求导法则与初等函数	题 9、10
u1-06	隐函数与参数方程求导	题 11、12
u1-07	中值定理与误差界	题 13、14
u1-08	单调、极值与凹凸	题 15、16
u1-09	洛必达法则与未定式	题 17、18
u1-10	Taylor 展开与余项	题 19、20
u1-11	原函数与不定积分	题 21、22
u1-12	换元与分部积分	题 23、24
u1-13	定积分与微积分基本定理	题 25、26
u1-14	积分的几何与物理应用	题 27、28
u1-15	反常积分与收敛判别	题 29、30
u1-16	矩阵运算与线性表示	题 31、32
u1-17	行列式与可逆性判据	题 33、34
u1-18	逆矩阵与线性方程组	题 35、36
u1-19	消元、秩与解的结构	题 37、38
u1-20	向量空间、基与维数	题 39、40

切线表达局部变化率，面积表达累计量。图为概念示意，实际计算仍须使用相应函数与积分区间。

向量的线性组合与坐标依赖所选基；图用于辅助理解向量方向。

函数、数列与数学语言

函数为定义域中每个元素指定陪域中的唯一元素，实际取得的值组成像集（值域）；先写定义域，再讨论复合、反函数和图像。数列是定义在正整数上的函数，单调且有界的实数列必收敛。上界不一定是数列中的项，上确界是所有上界中最小的一个。例如 $a_n=1-1/n$ 递增、有上界 $1$，极限是 $1$，但没有最大项。

关键关系与条件

复合函数 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ 要求 $x\in D_g$ 且 $g(x)\in D_f$。严格单调函数在其像集上有反函数。实数列若 $a_{n+1}\ge a_n$ 且存在 $M$ 使所有 $a_n\le M$，则 $lim{a}_n=sup\{a_n:n\ge 1\}$。

公式定位 · 练习与讲解

极限与无穷小

极限描述变量趋近某点或无穷远时函数的稳定趋势，与该点是否定义无关。存在两侧极限须左右极限相等；分母趋于零时不能直接套商法则。等价无穷小适合乘除结构，做差时可能消去主项。计算前先辨认有限极限、无穷大和未定式。

关键关系与条件

若 $limf=A$、$limg=B\ne 0$，则 $limf/g=A/B$。当 $x\to 0$，$\sin x\sim x$、$\ln (1+x)\sim x$、$e^x-1\sim x$、$1-\cos x\sim x^2/2$；三角函数用弧度。夹逼定理要求同一邻域内 $g\le f\le h$ 且 $g,h$ 趋于同一极限。

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连续性与闭区间定理

函数在点连续要求函数值存在、极限存在且二者相等；端点采用单侧连续。闭区间上的连续函数一定有界并取得最大最小值，且具有介值性。介值定理给出根的存在，严格单调性是进一步保证唯一性的一个充分条件；开区间或不连续时这些结论不能照搬。

关键关系与条件

在 $a$ 连续：$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$。若 $f\in C[a,b]$ 且 $f(a)f(b)<0$，则存在 $c\in (a,b)$ 使 $f(c)=0$。连续函数在紧区间 $[a,b]$ 上取得极值。

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导数定义与可微性

导数是差商的极限，表示切线斜率与瞬时变化率。一元函数在一点可导等价于在该点可微，可导必连续，连续未必可导。微分是变化量的一阶线性近似；尖点、竖直切线和不连续点要回到定义检查。

关键关系与条件

$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}[f(a+h)-f(a)]/h$（极限有限）。可微表示 $f(a+h)=f(a)+f^{\prime }(a)h+o(h)$，于是 $\mathrm{d}f=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$。切线为 $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$。

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求导法则与初等函数

和差、乘积、商与复合函数的求导规则把复杂函数拆成局部运算。链式法则要逐层乘内层导数；商法则要求分母不为零。对数、幂和指数的定义域要在求导之前保留。变指数函数可在正底数区间用对数求导。

关键关系与条件

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$；$(u/v{)}^{\prime }=(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })/v^2$（$v\ne 0$）；$(f\circ g{)}^{\prime }=f^{\prime }(g)g^{\prime }$。$(e^x{)}^{\prime }=e^x$，$(\ln x{)}^{\prime }=1/x$（$x>0$），$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$，$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$。一般实指数 $x^{\alpha }$ 在 $x>0$ 有导数 $\alpha x^{\alpha -1}$。

常用补充：$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$（$a>0$）；$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=1/(x\ln a)$（$a>0,a\ne 1,x>0$）；$(\tan x{)}^{\prime }=1/{\cos }^{2}x$（$\cos x\ne 0$）；$(\arcsin x{)}^{\prime }=1/\sqrt{1-x^2}$、$(\arccos x{)}^{\prime }=-1/\sqrt{1-x^2}$（$|x|<1$）；$(\arctan x{)}^{\prime }=1/(1+x^2)$。

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隐函数与参数方程求导

隐式关系 $F(x,y)=0$ 不一定在每点都能把 $y$ 视为 $x$ 的光滑函数；局部可解常用条件是偏导连续且 $F_y\ne 0$。对含 $y$ 的表达式求导时必须乘 $y^{\prime }$。参数曲线先分别对参数求导，再比较坐标变化率；分母为零的点需单独研究。

关键关系与条件

若 $F(a,b)=0$，$F_x,F_y$ 在 $(a,b)$ 邻域连续且 $F_y(a,b)\ne 0$，则过该点局部存在可微函数 $y(x)$，满足 $y^{\prime }=-F_x/F_y$。对二阶可导的参数曲线 $x=x(t),y=y(t)$，当 $x^{\prime }(t)\ne 0$ 时 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x=y^{\prime }(t)/x^{\prime }(t)$，${\mathrm{d}}^{2}y/\mathrm{d}{x}^2=[\mathrm{d}(y^{\prime }/x^{\prime })/\mathrm{d}t]/x^{\prime }$。

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中值定理与误差界

Rolle 定理把相同端点值转成内部水平切线；Lagrange 中值定理把平均变化率转成某点瞬时变化率。它们需要闭区间连续、开区间可导。中值定理还可证明恒等、估计误差：若导数绝对值不超过 $M$，函数变化量最多为 $M$ 倍输入变化量。

关键关系与条件

若 $f\in C[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 可导，则存在 $c\in (a,b)$ 使 $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$。若再有 $f(a)=f(b)$，则 $f^{\prime }(c)=0$。若区间内 $|f^{\prime }|\le M$，则 $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$。

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单调、极值与凹凸

导数符号给出增减趋势，临界点包括导数为零或不存在的定义域内点。闭区间最值还须比较端点。二阶导数为正表示图像向上弯，常称凸；为负表示向下弯。拐点要求凹凸性发生改变，二阶导数等于零只是候选条件。

关键关系与条件

区间内 $f^{\prime }>0$ 则严格递增，$f^{\prime }<0$ 则严格递减。若 $f^{\prime }(c)=0$ 且 $f^{″}(c)>0$，则 $c$ 为严格局部极小点；若 $f^{″}(c)<0$，为严格局部极大点。$f^{″}(c)=0$ 时二阶判别失效。

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洛必达法则与未定式

洛必达法则适用于满足条件的 $0/0$ 或无穷大比无穷大型极限，比较的是导数之比，而不是对原商求导。使用前检查类型、邻域内可导及分母导数非零；导数比有极限才可使用相应结论。其他未定式需要先转化，不能直接把分子分母分别求导。

关键关系与条件

在穿孔邻域内 $f,g$ 可导、$g^{\prime }\ne 0$，且 $f,g\to 0$，或 $|f|,|g|\to \mathrm{\infty }$；若 $lim{f}^{\prime }/g^{\prime }=L$ 存在（可为无穷），则 $limf/g=L$。单侧及无穷远版本需在相应区间满足条件。

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