数学：概率与方程完整习题

需先会分数四则、二元一次方程消元和勾股定理。先独立完成红蓝球、方程组与相似三角形三组题，再展开解答核对；补充工作纸见下方完整材料。题目为原创教学材料。

条件概率

数学 条件概率先缩小样本空间。袋中两个红球R1、R2与一个蓝球B，不放回取两个。按有序身份列出R1R2、R1B、R2R1、R2B、BR1、BR2，共6个等可能结果。首个红球有4个结果，其中次个红球有2个，故P(次红|首红)=2/4=1/2。

不加条件的次红概率为4/6=2/3，两个概率不同，说明两次取球不独立。题：首个蓝球时次个红球概率？

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答案为1，因为只剩两个红球。若放回再取，条件概率变成2/3，必须先说明抽取机制。

线性方程组

数学 线性方程组用消元保持解集。题：解 $x+y=5$、$2x-y=1$，并代回验证。

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两式相加得 $3x=6$，所以 $x=2$；再代入第一式得 $y=3$。核验第二式 $4-3=1$。

若把第二式改成2x+2y=10，它只是第一式的倍数，解有无穷多个；改成2x+2y=11则矛盾而无解。零行对应0=0可删掉，0=1说明不相容；不能把所有零主元都称为“没有答案”。

几何条件

数学 几何条件决定公式能否使用。直角三角形斜边5、一条直角边3，另一边的平方为25-9=16，边长取正值得4。若只说普通三角形有边3和5，第三边并不唯一，不能套勾股定理。

相似三角形只给一组形状而没有比例，不能算出另一组三边数值。题：一个相似三角形对应3的边为6，原三边3、4、5，求新三边。

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比例 $6/3=2$，得到6、8、10。先明确对应边，再统一乘比例；不要把相似的角相等误认为边也相等。

完整同源材料与说明

补充十题按题目与解答分开提供，需会分数运算、方程消元与几何条件判断。准备纸笔，先做下方 questions.md，再展开 answers.md；README 说明材料顺序与使用边界。本轮未试做这些练习。

# 数学完整纸面材料

示例未执行。本目录只供离线阅读与纸面练习，不含程序、服务或自动化。

## 前置与依赖

需要分数四则、等式同变、集合与无放回计数的基础；工作纸会用到正整数归纳和直角三角形。先读 [questions.md](questions.md) 的完整条件。 依赖仅为纸笔或文本阅读器，无安装、服务或账号；跨平台文本可读不等于运行验证。

## 全部文件与使用顺序

- questions.md
- answers.md

1. 在 [questions.md](questions.md) 中独立完成 10 题，写出单位、等价变形和适用条件。
2. 再用 [answers.md](answers.md) 核对消元、样本空间、归纳步骤与均值/方差计算表。
3. 给首个错误步骤作标记，换一个题设条件检查结论是否仍成立。

## 正常预期与失败边界

参考解答在 answers.md。漏掉“不放回”、直角或概率模型条件时，先回到题设；分母为零不能填0。第10题是给定分布的总体方差，不是无偏样本方差。材料仅供纸面练习，不能外推为专业模型结论；未试做或运行。

## 恢复与清理

先复制材料再作答，不覆盖仓库原件；误改后从原件重复制，自己的额外笔记先备份。清理仅删除自行创建的练习副本，无服务、端口、账号或外部数据需要处理。没有服务、端口或外部数据需要清理；自己的练习笔记不属于仓库原稿。

仅纸笔或文本阅读器；无程序、无第三方依赖、无服务、无账号。示例未执行。

# 数学工作纸

前置：分数、等式、集合；所有输入完整给在本页，无需程序。

1. 解 2x+y=7、x-y=2，逐步消元并代回。
2. 将题1第二式改为4x+2y=14，与第一式比较，描述解集；再改为4x+2y=15。
3. 从四张不同卡A、B、C、D无放回取两张：列无序组合、求有序数量。
4. 三球R1、R2、B无放回取两球，列样本空间，求至少一红与次红给定首红的概率。
5. L=20、U=80，求v=35的位置；p=0.6反求v；U=L怎么办？
6. 证明前n个正奇数和为n²，n为正整数。
7. 对f(x)=x²，求从2到4平均变化率；它是不是f(4)？
8. 某直角三角形斜边13、一边5，求另一边；若不知直角，是否唯一？
9. 反驳“a²=b²必有a=b”，再补一组足够前提。
10. 填计算表（不是样本推断）：观察值为2、4、6，各概率1/4、1/2、1/4；写x、p、xp、(x-均值)²p并求均值、方差。

查看工作纸十题答案与讲解

# 推导、计算表与边界

1. 两式相加得3x=9，x=3；x-y=2给y=1。核验2乘3+1=7、3-1=2。
2. 4x+2y=14是第一式乘2，不新增约束，解集为y=7-2x，x可取任意实数；右端15则与应得14冲突，无解。
3. AB、AC、AD、BC、BD、CD共6组；每组有两个顺序，有序共12种。
4. R1R2、R1B、R2R1、R2B、BR1、BR2共6个等可能结果。每个至少一红，故概率1；首红有4个，其中次红2个，条件概率1/2。
5. (35-20)/(80-20)=1/4；20+0.6乘60=56；U=L时分母为0，比例未定义，应拒绝换算而不是填0。
6. n=1时1=1²。假设前k项和k²，再加第k+1个奇数2k+1，得k²+2k+1=(k+1)²；归纳成立。
7. (16-4)/(4-2)=6，f(4)=16是函数值而非变化率。
8. 另一边平方169-25=144，边长12；没有直角前提，第三边可有多种，不能套公式。
9. a=1、b=-1满足平方相等却不相等。补a、b均非负则可以推出相等。
10. 先求均值，再填离差平方；这里是给定离散分布的总体方差，不除以n-1。

| x | p | xp | (x-4)²p |
| --- | --- | --- | --- |
| 2 | 1/4 | 1/2 | 1 |
| 4 | 1/2 | 2 | 0 |
| 6 | 1/4 | 3/2 | 1 |
| 合计 | 1 | 4 | 2 |

均值4，方差2。概率和不是1、概率为负、缺值时，都不直接代入本表；先核对输入与模型，不把缺值当0。所有推导为纸面参考解答，示例未执行。