数学：错题边界与复盘

需能代回方程检查解，并区分有序与无序选取。本页从平方反例、漏负根与计数模型开始，记录第一处错误，再核对旧笔记中的概率和方程答案；独立习题用于变式练习。

反例检查

数学 反例检查只需一个满足前提却不满足结论的例子，就能否定全称命题。命题“平方后数总变大”取x=1/2，平方1/4更小；命题“相关就有因果”则不属于单凭代数计算可证明的结论。

题：“若a²=b²，则a=b”是否成立？取a=1、b=-1即可否定。修正为实数下a=b或a=-b，若再限制a、b非负才推出相等。写反例时要同时核对前提，否则取一个不在定义域的数不构成反驳。

错题复盘

数学 错题复盘保留原推导的第一处不等价，而不只抄最终答案。例：x²=9→x=3，遗漏负根发生在开方那一步；正确解集为{3,-3}，代回都得9。

给错因标记“定义域”“算术”“模型”“推理”。把“4人选2人=12”用于无职务选组是模型错；3乘4算成7是算术错。下一道变式为5人选2人，答案10；若要求两职务则20。能解释为何除以2，比只记10更能说明理解。

旧题边界

数学 旧题边界保留可查的历史材料与已完成的原页校正，按公式、条件、答案分别核对。旧公式速查曾有缺括号及三角计算条件问题，本轮已在原页修正；旧高等与离散笔记的生日问题应先求全异概率，再取补事件。

23人生日至少重复概率的模型需假设生日独立且365天等可能；全异为365乘364一直到343，再除365的23次方，重复概率是1减该值。旧运筹学笔记保留专题参考，马尔可夫长期唯一稳定分布还需要适当条件，不能照抄成无条件事实。

旧方程题的两处明确更正：2x+y=5、3x-y=1直接相加得5x=6，因此x=6/5、y=13/5，代回两式均成立；旧答7/8与3/8不能代回。x²+y²=25、x+y=7时，将第二式平方得49=25+2xy，因此xy=12，x和y为方程t²-7t+12=0的根3与4，解为(3,4)或(4,3)，不是(2,5)或(6,1)。遇到旧题先代回检查，不用历史答案替代推导。