高二数学知识讲解 · 双曲线与渐近线至统计相关、回归与预测范围

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在函数与向量基础上学习数列、空间几何、解析几何、导数和概率统计。建议先掌握各对象的定义与标准式，再处理参数、交点、最值；这里的年级归属是学习路线建议。

双曲线与渐近线

双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为固定值 $2a$，且小于焦距 $2c$。标准方程中的正项决定实轴方向；两分母都可为任意正数，不要求 $a>b$。渐近线描述远处趋势，不属于双曲线自身，交点为中心。

公式与条件： $x^2/a^2-y^2/b^2=1$，$a,b>0$，$c^2=a^2+b^2$，焦点 $(\pm c,0)$，$e=c/a>1$，渐近线 $y=\pm (b/a)x$。实轴为 $y$ 轴时交换坐标角色。

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抛物线焦点与准线

抛物线是到定点与定直线距离相等的点的轨迹，定点不在定直线上。标准式的参数约定必须固定：本版用 $y^2=2px$，$p$ 是焦点到准线的距离。由等距定义平方化简可得到标准式，顶点位于焦点与准线之间的中点。

公式与条件： $y^2=2px$，$p>0$：焦点 $(p/2,0)$，准线 $x=-p/2$，向右开口。$y^2=-2px$ 向左；$x^2=2py$ 向上；$x^2=-2py$ 向下。不可与 $y^2=4ax$ 的参数 $a$ 混用。

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导数定义与切线

导数表示平均变化率在间隔趋近于零时的极限，是瞬时变化率，也是曲线在该点切线的斜率。导数存在要求左右极限一致且有限；连续不一定可导，例如绝对值函数在零处有尖点。切线经过的是原函数图象上的点。

公式与条件： $f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$，若极限存在。切线 $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$。可导推出连续，反向一般不成立。

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导数公式与运算法则

求导先辨认和、积、商与复合结构。乘积求导要两项相加，商求导的分子顺序固定；复合函数还要乘内层导数。三角导数公式采用弧度制。对数函数在实数范围需要正真数，求导后出现的代数式不应擅自扩大原定义域。

公式与条件： $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$（在该幂函数可导处）；$(e^x{)}^{\prime }=e^x$，$(\ln x{)}^{\prime }=1/x(x>0)$；$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$，$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$。$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$，$(u/v{)}^{\prime }=(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })/v^2(v\ne 0)$，$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$。

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导数、单调区间与极值

导数符号描述局部增减。先找导数为零或不存在的点，再按定义域划区间分析符号。用左右导数变号判定候选点的极值时，要求函数在该点连续，并在左右邻域可导，否则该点可能发生跳跃。驻点不一定是极值点，例如 $x^3$ 在零处导数为零却继续递增。闭区间最值还必须比较端点，极大值也不一定是全局最大值。

公式与条件： 在区间内 $f^{\prime }>0$ 可推出严格递增，$f^{\prime }<0$ 可推出严格递减。若 $f$ 在内部点 $x_0$ 连续，并在其左右邻域可导，则导数由正变负时 $x_0$ 为极大值点，由负变正时为极小值点。闭区间连续函数的最值候选为内部导数为零或不存在的点及端点。

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分类计数、分步计数与排列

完成任务有互斥的几类方式时用加法，任务需依次完成各步时用乘法。排列既选择对象又考虑顺序，因此交换位置通常算不同结果。遇到限制可先安排特殊对象，或用全部减不满足的结果，但必须保证没有重复计数。

公式与条件： 分类计数 $N=m_1+\cdots +m_k$，各类须互斥且覆盖；分步计数 $N=m_1\cdots m_k$，每一步的选项数应正确考虑前面限制。$A_n^r=n!/(n-r)!$，$n,r$ 为整数且 $0\le r\le n$。

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组合、分组与避免重复

组合只选择对象而不考虑顺序，可把排列数除以所选对象内部的排列数。分组题需区分组是否有标签：分成甲乙两组与分成两组不同，后者可能需要再除组间交换造成的重复。先定义“一个结果”是什么，再决定分母。

公式与条件： $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r!(n-r)!}$，$n,r$ 为整数且 $0\le r\le n$；$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-r})$；$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{r+1})$，此式要求 $0\le r<n$。$0!=1$。

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二项式定理与系数

二项式展开中的系数来自在各因式中选择第二项的位置数。求某项或某幂的系数时，先写通项，再解指数条件；“某项”包含字母，“系数”只取乘在对应幂前的常数。项号从 1 开始，而通项的选择次数从 0 开始。

公式与条件： $(a+b{)}^n=\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})a^{n-r}{b}^r$，$n$ 为非负整数。第 $r+1$ 项为 $T_{r+1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})a^{n-r}{b}^r$。$\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=2^n$。

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条件概率与独立性

条件概率把样本空间缩小到已知事件内部，分母因此变为该事件概率。独立表示条件信息不改变另一事件概率，互斥表示不能同时发生，两者不同。树状图每条分支必须使用相应条件下的概率；概率为零的条件事件不能直接用基本比值定义。

公式与条件： $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$，$P(B)>0$。$A,B$ 独立当且仅当 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。

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离散随机变量、期望与二项分布

离散随机变量给每种试验结果赋一个数值，分布列概率非负且总和为 1。期望是按概率加权的平均，未必是变量能实际取得的值。独立重复、成功概率固定、每次只有成功失败两类时，成功次数服从二项分布。无放回抽样通常不符合独立条件。 无放回抽样中，各等大小样本等可能时，抽中指定类别的个数服从超几何分布；抽取次序依赖，不能套二项分布。

公式与条件： 有限分布列有 $E(X)=\sum x_i{p}_i$，$D(X)=\sum (x_i-E(X){)}^2{p}_i$（无限分布需另检查相应矩存在）。若 $X\sim B(n,p)$，则 $P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$，$E(X)=np,D(X)=np(1-p)$，$n$ 为非负整数，$k=0,\dots ,n$，$0\le p\le 1$。端点 $p=0,1$ 按退化分布理解。 若 $N$ 件中有 $M$ 件目标物，等可能无放回取 $n$ 件，$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-k})/(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})$，$N,M,n,k$ 为整数，$0\le M,n\le N$，$max(0,n-N+M)\le k\le min(n,M)$；$N>0$ 时 $E(X)=nM/N$。

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统计相关、回归与预测范围

散点图先检查变量关系、异常值和是否适合直线模型，再做回归。最小二乘直线使纵向残差平方和最小，并经过样本均值点。相关不证明因果；超出观测范围的外推比区间内预测风险更大，拟合结果应说明单位与适用范围。

公式与条件： $\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}x$，$\hat{b}=\frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}$，要求分母大于零；$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$。残差 $e_i=y_i-{\hat{y}}_i$。

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