高二数学独立习题集 · 等差数列至圆的标准方程与直线位置

本页有 44 道题，每个知识点各两题。建议先独立作答、写出理由，再展开答案核对。

高二数学独立习题集

本页有 44 道题，每个知识点各两题。建议先独立作答、写出理由，再展开答案核对。

知识点	配套题号
s11-01 等差数列	题 1、题 2
s11-02 等比数列与前项和	题 3、题 4
s11-03 递推数列与构造新数列	题 5、题 6
s11-04 数列求和、裂项与错位相减	题 7、题 8
s11-05 空间直线与平面的位置关系	题 9、题 10
s11-06 棱柱、棱锥与棱台的度量	题 11、题 12
s11-07 圆柱、圆锥与球	题 13、题 14
s11-08 空间向量、法向量与夹角	题 15、题 16
s11-09 直线方程与点线距离	题 17、题 18
s11-10 圆的标准方程与直线位置	题 19、题 20
s11-11 椭圆定义与标准方程	题 21、题 22
s11-12 双曲线与渐近线	题 23、题 24
s11-13 抛物线焦点与准线	题 25、题 26
s11-14 导数定义与切线	题 27、题 28
s11-15 导数公式与运算法则	题 29、题 30
s11-16 导数、单调区间与极值	题 31、题 32
s11-17 分类计数、分步计数与排列	题 33、题 34
s11-18 组合、分组与避免重复	题 35、题 36
s11-19 二项式定理与系数	题 37、题 38
s11-20 条件概率与独立性	题 39、题 40
s11-21 离散随机变量、期望与二项分布	题 41、题 42
s11-22 统计相关、回归与预测范围	题 43、题 44

等差数列

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题 1

等差数列 $a_{1} = 3, d = 2$ ，求 $a_{10}$ 与 $S_{10}$ 。

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答案： $a_{10} = 21, S_{10} = 120$ 。

思路与计算： 通项给 $3 + 9 \times 2 = 21$ ，求和为 $10 (3 + 21) / 2 = 120$ 。

易错提醒： 第十项到第一项只有九个公差。

题 2

等差数列满足 $a_{3} = 8, a_{7} = 20$ ，求首项与公差。

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答案： $a_{1} = 2, d = 3$ 。

思路与计算： 两式相减得 $4 d = 12$ ，再由 $a_{1} + 2 d = 8$ 得 $a_{1} = 2$ 。

易错提醒： 两项相差四个位置，对应四个公差。

等比数列与前项和

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题 3

等比数列 $a_{1} = 2, q = 3$ ，求前四项和。

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答案： $80$ 。

思路与计算： 四项为 $2, 6, 18, 54$ ；或用 $2 (1 - 3^{4}) / (1 - 3) = 80$ 。

易错提醒： 公式中的指数是项数 4。

题 4

等比数列满足 $a_{2} = 6, a_{5} = 48$ ，求实公比与首项。

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答案： $q = 2, a_{1} = 3$ 。

思路与计算： $a_{5} / a_{2} = q^{3} = 8$ ，实数立方根唯一为 $2$ ；再算 $a_{1} = 6 / 2 = 3$ 。

易错提醒： 求奇次幂的实根不添加无依据的正负号。

递推数列与构造新数列

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题 5

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，求通项。

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答案： $a_{n} = 2^{n} - 1$ 。

思路与计算： 加 1 后有 $a_{n + 1} + 1 = 2 (a_{n} + 1)$ ，新数列首项为 2、公比为 2，故 $a_{n} + 1 = 2^{n}$ 。

易错提醒： 构造后别忘记减回所加常数。

题 6

$b_{1} = 5, b_{n + 1} = b_{n} - 3$ ，求 $b_{6}$ 。另问： $c_{1} = 5, c_{n + 1} = 0 c_{n} + 2$ ，写出首项与所有后续项。

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答案： $- 10$ 。 $c_{1} = 5$ ， $n \geq 2$ 时 $c_{n} = 2$ 。

思路与计算： 这是公差为 $- 3$ 的等差数列， $b_{6} = 5 + 5 (- 3) = - 10$ 。每次递推右侧都为 $2$ ，因此从第二项起恒等于 $2$ ；直接列首项避免 $0^{0}$ 。

易错提醒： 递推到第六项需要五次更新。递推式允许零倍率，但这不等于非零项等比数列允许公比为零。

数列求和、裂项与错位相减

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题 7

求 $\sum_{k = 1}^{10} \frac{1}{k (k + 1)}$ 。

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答案： $10 / 11$ 。

思路与计算： 拆为 $1 / k - 1 / (k + 1)$ ，中间项相消，只剩 $1 - 1 / 11$ 。

易错提醒： 末尾保留下来的是 $1 / (n + 1)$ 。

题 8

求 $1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^{2} + \dots + n 2^{n - 1}$ 。

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答案： $(n - 1) 2^{n} + 1$ 。

思路与计算： 记和为 $S$ ，错位相减得 $2 S - S = n 2^{n} - (1 + 2 + \dots + 2^{n - 1}) = n 2^{n} - (2^{n} - 1)$ 。

易错提醒： 相减后首项和末项的位置容易漏写。

空间直线与平面的位置关系

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题 9

在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B$ 与 $C C_{1}$ 是什么关系？

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答案： 异面。

思路与计算： 两者不平行也不相交；若共面则非平行直线应相交，所以它们异面。

易错提醒： 空间中“不相交”不能直接判为平行。

题 10

已知直线 $l$ 垂直于平面 $α$ 内相交的两条直线，能推出什么？另问：若 $l$ 也在平面 $β$ 内，能推出 $α, β$ 什么关系？正方体相邻两面的内部二面角是多少？

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答案： $l ⊥ α$ 。两平面垂直；相邻面的内部二面角为 $90^{\circ}$ 。

思路与计算： 满足线面垂直判定中的两条相交线条件，因此 $l$ 垂直于平面。平面 $β$ 包含 $α$ 的一条垂线，符合面面垂直判定。沿公共棱作垂直截面，正方体两面的截线互相垂直。

易错提醒： 两条线若平行，则不足以使用该判定。面面垂直不是任取两平面内各一条直线都垂直。

棱柱、棱锥与棱台的度量

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题 11

棱锥底面积为 $18$ 、高为 $5$ ，求体积。

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答案： $30$ 。

思路与计算： $V = 18 \times 5 / 3 = 30$ 。

易错提醒： 体积使用垂直高，不是侧棱或斜高。

题 12

棱台上下底面积为 $4, 16$ ，高 $3$ ，求体积。

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答案： $28$ 。

思路与计算： $V = 3 (4 + \sqrt{64} + 16) / 3 = 4 + 8 + 16 = 28$ 。

易错提醒： 中间项是面积乘积的平方根，不是两面积的平均。

圆柱、圆锥与球

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题 13

球半径为 $3$ ，求表面积和体积。

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答案： 表面积 $36 π$ ，体积 $36 π$ 。

思路与计算： 分别算 $4 π \times 9$ 与 $4 π \times 27 / 3$ ；数值虽同，量纲不同。

易错提醒： 面积与体积不可因数值相同而混用单位。

题 14

圆柱与圆锥同底同高，圆柱体积 $45$ ，圆锥体积多少？

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答案： $15$ 。

思路与计算： 体积公式只差系数 $1 / 3$ ，故圆锥为 $45 / 3 = 15$ 。

易错提醒： 同底同高是比值成立的必要情境。

空间向量、法向量与夹角

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题 15

向量 $(1, 2, 2)$ 的长度是多少？

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答案： $3$ 。

思路与计算： 长度平方为 $1 + 4 + 4 = 9$ ，取非负平方根。

易错提醒： 三维长度须计入第三个分量。

题 16

直线方向向量为 $(1, 0, 1)$ ，平面为 $z = 0$ ，求线面夹角。

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答案： $45^{\circ}$ 。

思路与计算： 平面法向量 $(0, 0, 1)$ ，所以 $\sin θ = 1 / \sqrt{2}$ ，按线面角范围得 $π / 4$ 。

易错提醒： 向量与法向量夹角和线面角互余，不要机械套余弦。

直线方程与点线距离

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题 17

求过 $(1, 2)$ 、斜率为 $- 3$ 的直线方程。

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答案： $y = - 3 x + 5$ 。

思路与计算： 点斜式 $y - 2 = - 3 (x - 1)$ ，展开得到结果。

易错提醒： 直线应代回通过给定点。

题 18

求原点到直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 的距离。

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答案： $2$ 。

思路与计算： $d = | - 10 | / \sqrt{9 + 16} = 10 / 5 = 2$ 。

易错提醒： 距离公式分母是系数平方和的平方根。

圆的标准方程与直线位置

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题 19

把 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ 化为标准式。

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答案： $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ ，圆心 $(2, - 3)$ ，半径 $5$ 。

思路与计算： 分别配方加上 $4$ 与 $9$ ，右边为 $12 + 4 + 9 = 25$ 。

易错提醒： 括号中的符号与圆心坐标符号相反。

题 20

直线 $y = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 相交，求弦长。

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答案： $6$ 。

思路与计算： 圆心到直线距离为 $4$ ，半弦长 $\sqrt{25 - 16} = 3$ ，弦长为 $6$ 。

易错提醒： 距离小于半径表示相交，并需将半弦长乘 2。

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