大学第2阶段数学知识讲解 · 数项级数与收敛判别至连续分布与密度

返回分篇目录

知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 24 个知识点；配套 48 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

数项级数与收敛判别

级数收敛指部分和数列收敛；通项趋零只是必要条件。正项级数可用比较、比值或根值判别，交错级数可用单调趋零条件。绝对收敛蕴含收敛，条件收敛级数重排可能改变结果。判别法得到临界值时须换一种方法。

关键关系与条件

几何级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^n=a/(1-r)$（$|r|<1$）。$\sum n^{-p}$ 当且仅当 $p>1$ 收敛。若 $L=lim|a_{n+1}/a_n|<1$，则绝对收敛；$L>1$ 发散；$L=1$ 无结论（比值须最终有定义）。根值判别令 $q=lim sup|a_n{|}^{1/n}$：$q<1$ 绝对收敛，$q>1$ 发散，$q=1$ 无结论。交错项 $b_n\downarrow 0$ 时截断误差不超过下一项 $b_{N+1}$。

公式定位 · 练习与讲解

幂级数、收敛半径与逐项运算

幂级数在中心周围具有收敛半径，半径内绝对收敛，半径外发散；端点必须分别检查。在收敛区间内部可以逐项求导与积分，新的级数半径不变，但端点行为可能变化。把函数写成级数前还须确认它等于该级数，而不是只形式求系数。

关键关系与条件

对 $\sum a_n(x-c{)}^n$，$R^{-1}=lim sup|a_n{|}^{1/n}$（采用 $1/0=\mathrm{\infty }$）。$|x|<1$ 时 $1/(1-x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n$，$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{x}^n/n$；后者在 $x=1$ 也收敛，在 $x=-1$ 发散。

公式定位 · 练习与讲解

特征值、特征向量与谱

非零向量被矩阵作用后只改变尺度时，它是特征向量，相应尺度为特征值。特征值通过特征多项式求得，特征空间通过齐次方程求得。零向量永远不作为特征向量；特征值可以为零，也可以在实矩阵的复数域中出现。

关键关系与条件

$v\ne 0$ 且 $Av=\lambda v$ 定义特征向量及对应特征值。存在这样的非零 $v$ 当且仅当 $det(A-\lambda I)=0$；行列式为零本身不说明任意给定 $v$ 都是特征向量。$E_{\lambda }=\ker (A-\lambda I)$。计入代数重数后，$\sum _i{\lambda }_i=\mathrm{tr}A$，$\prod _i{\lambda }_i=detA$。

公式定位 · 练习与讲解

相似对角化与矩阵幂

相似变换是同一线性映射更换基后的矩阵表示。能选出完整特征向量基时，矩阵可对角化，矩阵幂及线性迭代因而简化。互异特征值对应特征向量线性无关；重根则需要检查特征空间维数，不能只看特征多项式是否分解。

关键关系与条件

若有 $n$ 个线性无关特征向量组成 $P$，则 $A=PD{P}^{-1}$，其中 $D$ 为对应特征值组成的对角矩阵，$A^k=P{D}^k{P}^{-1}$。可对角化等价于各特征空间维数之和为 $n$（在所用数域上）。

公式定位 · 练习与讲解

内积、正交投影与 Gram–Schmidt

内积定义角度和长度，正交使坐标计算彼此独立。把向量分解为子空间内的投影与垂直余量，可解释最小距离与最小二乘。Gram–Schmidt 从线性无关向量组中逐次扣除已有方向，必要时再归一化；若原组相关，过程中会出现零向量。

关键关系与条件

实欧氏空间 $⟨x,y⟩=x^{T}y$，$\parallel x\parallel =\sqrt{x^{T}x}$。$u\ne 0$ 时 ${\mathrm{proj}}_{u}v=(u^{T}v)/(u^{T}u)u$。若 $Q$ 的列正交归一，则投影到其列空间为 $Q{Q}^{T}v$，余量与各列正交。

公式定位 · 练习与讲解

实对称谱定理与二次型

实对称矩阵拥有实特征值和一组正交归一特征向量，因此二次型可通过旋转坐标消去交叉项。二次型正定意味着每个非零方向都有正值，是极小值与能量稳定性的重要条件。对称矩阵的正定性可用特征值或顺序主子式检查。

关键关系与条件

若 $A=A^T$，存在正交矩阵 $Q$ 使 $Q^{T}AQ=\mathrm{diag}({\lambda }_i)$，且 $x^{T}Ax=\sum _i{\lambda }_i{y}_i^2$（$x=Qy$）。正定等价于所有 ${\lambda }_i>0$，也等价于所有顺序主子式为正。半正定则要求所有特征值非负。

公式定位 · 练习与讲解

最小二乘与线性拟合

超定系统通常无法精确求解，最小二乘选择使残差平方和最小的参数。几何上拟合值是观测向量在设计矩阵列空间上的投影。列满秩时解唯一；秩不足时需伪逆或额外约束。数值上 QR 或 SVD 通常比直接求正规方程的逆更稳健。

关键关系与条件

最小化 $\parallel Ax-b{\parallel }^2$ 的必要充分条件为 $A^T(Ax-b)=0$。若 $A$ 列满秩，则 $\hat{x}=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}b$。残差 $r=b-A\hat{x}$ 满足 $A^{T}r=0$。带截距直线拟合令每行设计向量为 $(1,t_i)$。

公式定位 · 练习与讲解

概率空间与事件运算

概率模型先明确样本空间、可讨论事件和概率规则。只有各基本结果等可能时，才能用有利结果数除以总数。并集表示至少一个发生，交集表示同时发生；互斥不等于独立。计数时是否区分顺序、是否允许重复，会改变样本空间。

关键关系与条件

$P(\mathrm{\Omega })=1$，$P(A^c)=1-P(A)$，$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。等可能有限模型下 $P(A)=|A|/|\mathrm{\Omega }|$。从 $n$ 个不同对象无放回选 $k$ 个且不计次序，共 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=n!/[k!(n-k)!]$ 种。

公式定位 · 练习与讲解

条件概率、独立与 Bayes 公式

条件概率是在已知某事件发生后重新归一化的概率。独立表示知道一事件发生不会改变另一事件的概率；它与事件互不相容完全不同。Bayes 公式将结果反推原因时，需要先验概率和各原因产生结果的似然，不能只看检测准确率。

关键关系与条件

$P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$（$P(B)>0$）。独立条件为 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。若 $B_i$ 构成正概率划分，则 $P(A)=\sum _{i}P(A\mid B_i)P(B_i)$，$P(B_j\mid A)=P(A\mid B_j)P(B_j)/P(A)$（$P(A)>0$）。

公式定位 · 练习与讲解

离散分布：二项与 Poisson

二项分布描述固定次数独立同分布试验中的成功次数，要求成功率固定。Poisson 分布描述给定尺度下的稀有事件计数，参数是该尺度的平均次数。二项在次数大、成功率小且乘积适中时可近似为 Poisson，但近似不是恒等。

关键关系与条件

$X\sim \mathrm{Bin}(n,p)$：$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$，$EX=np$，$\mathrm{Var}X=np(1-p)$。$Y\sim \mathrm{Pois}(\lambda )$：$P(Y=k)=e^{-\lambda }{\lambda }^k/k!$，$EY=\mathrm{Var}Y=\lambda$，$k=0,1,\dots$。

公式定位 · 练习与讲解

连续分布与密度

本节讨论有密度的绝对连续随机变量，通过密度在区间上的积分给出概率，单点概率为零，密度值本身不必小于一。均匀分布表示区间内等密度；指数分布具有无记忆性；正态分布用均值和标准差描述位置与尺度。标准化时分母是标准差。

关键关系与条件

密度满足 $f\ge 0$、${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f=1$，$P(a<X\le b)={\int }_a^{b}f$。指数密度 $\lambda e^{-\lambda x}$（$x\ge 0,\lambda >0$），尾概率 $P(X>t)=e^{-\lambda t}$（$t\ge 0$；$t<0$ 时为 $1$）。若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$、$\sigma >0$，则 $Z=(X-\mu )/\sigma \sim N(0,1)$。原变量 $X$ 的密度为 $e^{-(x-\mu {)}^2/(2{\sigma }^2)}/(\sigma \sqrt{2\pi })$。

分布函数 $F_X(x)=P(X\le x)$ 适用于离散和连续情形。有联合密度 $f_{X,Y}$ 时，$f_X(x)={\int }_{\mathbb{R}}{f}_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}y$；在 $f_X(x)>0$ 处，条件密度 $f_{Y\mid X}(y\mid x)=f_{X,Y}(x,y)/f_X(x)$。独立当且仅当联合密度几乎处处等于边缘密度之积。连续条件密度不是把 $P(X=x)=0$ 直接作为分母。

公式定位 · 练习与讲解